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入座數學謎題

答對率:61%
知名交響樂團將在城市音樂廳演出,2000 張門票很快就銷售一空。你很慶幸地買到票了。音樂廳門票都是有指定的座位的,2000 張票對應 2000 席座位,照理說每個人都應該對號入座。

演出當日,觀眾們一個接一個地依序排隊,準備進場入座;可是第一位進場的是位知名人士,他入場後很大牌地隨便選了一個喜歡的座位坐下了(隨機的,每個空座位被選到的機會均等,故也有可能剛好選到他自己的座位)。
爾後的每位觀眾進場時,如果發現自己的座位被前面的人坐走了,就會隨機地選剩下的其中一個空座位坐下(每個空座位被選到的機會均等);如果自己的座位還空著,就會對號入座。


今天你是最後一位進場的觀眾,請問你能坐到自己的座位的機率是多少?
mightqxc2015-03-05提供(2015-03-07修改)
來源:書上改編
看答案
二分之一
 
有想法的朋友(或是想測試你的 code),可以試試看:
  • 如果改成總共 10000 名觀眾,那你(最後一位進場的)能坐到你的座位的機率是多少?
  • 在你前面那位進場的(倒數第二位),坐到他自己的座位的機率是多少。

解析

我要編輯
相信有試著直接計算「最後一位坐到自己座位」機率的朋友,會發現很麻煩:因為一旦前面有人坐到別人的位子,就會影響後面的人坐座位的機率,人數一多可能性也多,難以全部列出。

以下提供個人想到的兩種方法:
方便起見,稱第一位進場的觀眾是 1 號,第二位是 2 號,…,你是最後一位是 2000 號。

(一)先算「自己座位被坐前面的人坐走」的機率,再用 1 去減,即是「坐到自己座位」的機率。
一開始就算 2000 號太複雜;不妨先算前幾號的機率看看再類推:
1 號:很顯然他坐到自己座位的機率是 1/2000,不過他不重要。
2 號:只要 1 號不要坐 2 號的座位,2 號就能對號入座;1 號坐到 2 號座位的機率為 1/2000 ,故 2 號能坐到自己座位的機率是 1 - 1/2000 = 1999/2000
3 號:同樣地,只要 1 號和 2 號不坐 3 號的座位,3 號就能對號入座;1 號坐到 3 號座位的機率也是 1/2000 ;而 2 號要坐到 3 號座位是要在 2 號沒坐到 2 號座位的情況下(據上題,機率 1/2000),從剩下的 1999(1號、3號、4號、...、2000號) 個位子選中 3 號的座位,故機率為 1/2000 × 1/1999 。因此,3 號能坐到自己座位的機率是 1 - (1/2000 + 1/2000 × 1/1999) = 1 - (1 + 1/1999)/2000 = 1 - (2000/1999)/2000 = 1 - 1/1999 = 1998/1999
4 號:同理,坐到自己座位的機率是 1 - (1/2000 (1坐4) + 1/2000×1/1999 (2坐4) + 1/1999×1/1998(3坐4)) = 1 - 1/1998 =  1997/1998
……規律滿明顯的…
1999 號:坐到自己座位的機率是 2/3
2000 號:(你)坐到自己座位的機率是 1/2

(二)如果你很執著於「為何答案是 1/2 、為何剛好一半」,那可以這樣想:
  1. 首先,在 1 號坐到他自己的座位的狀況下,就天下太平,大家都會對號入座,你也百分之百會坐到自己的座位;其次,在 1 號坐到你的座位 的狀況下,不管接下來的人怎麼坐,你百分之百坐不到自己的座位。注意,因為「1 號坐到他自己的座位」和「1 號坐到你的座位」的機率是一樣的,所以在目前考慮到的狀況下,你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率也是一樣的。至於其他的狀況(1 號坐到其他人的座位),就繼續討論…
  2. 1 號坐到其它人如第 K 號座位的狀況下,那 2 號到 (K-1) 號都會對號入座,所以就看 K 號觀眾怎麼選座位了。如果 K 號坐到 1 號的座位,那麼接下來的觀眾就都不受影響,可對號入座,你也百分之百會坐到自己的座位;如果 K 號坐到 你的座位,那麼你百分之百坐不到自己的座位。同樣地,因為「K 號坐到 1 號的座位」和「K 號坐到你的座位」的機率是一樣的,所以在目前考慮到的狀況下,你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率也是一樣的。至於其他的狀況(K 號坐到其他人的座位),就繼續討論…
  3. 如果以上方法一直繼續討論下去,因為人數有限,總會把所有情況都討論完。因為每次討論考慮的狀況下,你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率都是一樣的,所以最後討論完考慮所有情況時,你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率也是一樣的,即都是 1/2

這一題有趣的地方就在於,無論觀眾有多少人(只要第一位進場的是奧客),那麼最後一位進場者坐到自己座位的機率都是 1/2 ,倒數第二位進場者坐到自己座位的機率都是 2/3 (見方法(一)),倒數第 N 位進場者(除了第一位)坐到自己座位的機率都是 N/(N+1) 。
 
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