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拆分正整數最大積數學謎題

答對率:78%

『8』可以拆成多個正整數,如:「1+7」或「3+5」或「1+2+2+3」...
現在想要找出最好的拆法,讓拆出的正整數相乘後得到最大的積,
如把『8』拆成「2+3+3」,乘積為2×3×3=18,就是可以得到的最大積。

換成拆解『9』、『10』、『11』,
又該怎麼拆來得到最大乘積呢?

NaoLiBuJi(腦力補給)2015-01-14提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2015-01-14/
看答案
  • 『9』:3×3×3=27
  • 『10』:2×2×3×3=36
  • 『11』:2×3×3×3=54

你找出快速計算的規則了嗎?繼續解下去你能解到多少呢?

解析

我要編輯
bbbnnn(奇風), newtc50(逆襲)...等 2 人共同編輯 | 歷史版本

雖然整數分拆允許保持原樣(拆成恰好1個),
不過題目敘述似乎是要求一定要分開,
那麼2、3、4的最大乘積依序會是1×1=1、1×2=2、2×2=4,
接下來會討論該怎麼拆解大於4的數。

首先可以注意到,拆出來的每個數都要落在2~4。
假如有拆出1,找另一個拆出的數x合為x+1後,
會發現x+1比1×x更大,表示能得到更大的乘積。
又假如有某個數拆出的數y大於4,把它再拆成2+(y-2)後,
會發現2×(y-2)比y更大,表示能得到更大的乘積。

接下來,拆出來的數中可以沒有4,而2最多只能有2個。
假如有拆出4,拆成2+2後雖然乘積不變,
然而2×2×2=8<9=3×3,把3個2換成2個3能有更大的乘積。

根據以上兩個性質,我們得到最佳的拆法只能是:

  • 『3n』:拆成n個3,乘積為3ⁿ。
  • 『3n+1』:拆成2個2和n-1個3,
    或拆成n-1個3和1個4,乘積皆為4×3ⁿ⁻¹。
  • 『3n+2』:拆成1個2和n個3,乘積為2×3ⁿ。
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