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街頭急智王--拿到最後一顆球的策略(續)邏輯謎題

答對率:74%
之前百萬獎金腦力戰的製作單位因為開的節目太紅了,導致後來獎金都被拿走,因此製作單位又改了一下題目。
今天,你又被挑中了,遊戲規則如下:『
 A箱子裡裝著三顆球,B箱子裡裝著五顆球,C箱子裡裝著七顆球;
 兩人輪流從箱子中拿球,
 但每人每次只可以挑選一個箱子拿球,要從中拿出幾顆都可以,
 拿到最後一顆球的人獲勝。

這次主持人忘記計時了,你如果想贏,應該採取什麼策略拿球?
yaonepiece(小扁⊂(•̀ω•́⊂)2014-11-10提供(2014-11-11修改)
看答案
從任何一箱拿走一顆球

解析

我要編輯
(感謝topfirstguy的指正,現已修正為正解)
這裡介紹最麻煩但最容易想到的方法:按"步"就班法
概念就是「先找出一個自己可以贏的情況。如果對方有辦法從某A情況弄成他可以贏的情況,這個A情況就是自己會輸的情況;否則此A情況也為自己可以贏的情況。」
(以下三箱球數會以(x,y,z)表示,例如原本的球數為(3,5,7),所有未知數皆為正整數)
首先從上次的題目可知,如果你拿剩下兩箱一樣多球(k,k,0)的情況時,你就相當於贏了。
因此在取球時,不可以取剩三箱之中有至少兩箱一樣多球(k,k,m),因為對方將另外一箱取走就可以了。
接著討論三箱球數都不一樣的情況:
1.最少球數為1
若你拿成(1,2,3)的話,你就相當於贏了。因為不管對方怎麼拿你都可以再拿成(k,k,0)的模式。
相對的,若拿剩下(a,2,3) (1,b,3) (1,2,c) (a>1,b>2,c>3)時,對方都可以拿成(1,2,3),因此這些情況是不好的。
下一個是(1,4,5),拿成這樣你也贏了,因為對方無論怎麼拿都會變成前面紅色字所代表的"會輸的組合"。
相對的(a,4,5) (1,b,5) (1,4,c) (a>1,b>4,c>5)也都是"會輸的組合"。
因為原本的球數為(3,5,7),所以其他最少球數為1的情況都已經被涵蓋或是不可能出現,因此討論至這。
2.最小球數為2
(2,3,n) (2,4,5)為何是"會輸的組合"前面已經都提過,此處省略。
相對的(2,4,6)便是"會贏的組合",因為不管怎麼取都會變成前面"會輸的組合"之一。
那麼(a,4,6) (2,b,6) (2,4,c) (a>2 b>4 c>6)也都是"會輸的組合"。
(2,5,7)也是"會贏的組合",理由仿前。
至此討論已經可以結束了,因為只要一開始從(3,5,7)拿成(2,5,7),後面拿對你就贏了。
(3,4,7)(3,5,6)也為"會贏的組合",也是可以以相同方法推得的。
 
這其實是非常經典的 Nim 遊戲。
必勝法以及遊戲的變形可以參考尤怪之家的介紹
想瞭解嚴謹的數學證明可以看這篇文章
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