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點燈遊戲眼腦並用謎題

答對率:78%

點燈遊戲是一種很常見的益智小品,規則是:
有一些燈並排在一起,每次可切換一個燈的狀態,原本是亮的就會變暗,原本是暗的就會變亮;
而且,當你切換任何一個燈時,與它緊鄰的上下左右的燈也會跟著切換狀態,
如下圖:(黑色表示暗燈,黃色表示亮燈)

現在這九個燈的初始狀態如下圖,
已知只要切換三次,就可以把所有燈全部點亮,
你知道這三次該怎麼切換嗎?

(註:請不要用紙筆輔助,都在腦中演練,可以順便鍛鍊記憶力喔!)

NaoLiBuJi(腦力補給)2014-06-14提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2014-06-14/
看答案
  1. 切換最下排正中央
  2. 切換正中央
  3. 切換左上角

解析

我要編輯
觀察角落有三個暗燈,如果三個暗燈都在不同次點亮的話,就要耗掉三次機會,
就沒有辦法把切換時產出的其他暗燈點亮了,
所以可以推論至少有一次要把角落兩個暗燈同時點亮,
能做到這件事情的只有切換『左排中央』或『下排中央』這兩顆才有可能,
剩餘步驟只要簡單嘗試一下就可以知道囉~
 
以下介紹點燈遊戲最直接的代數解法,不建議用紙筆,更不建議只用腦袋。
(其實這個經典遊戲已經被許多人研究過,這裡只是在介紹其他的觀點,
許多奇特的解法、尋找解答的程式在網路上搜尋一下就有了)
點燈遊戲使用代數解法的優點在於,解題完全不需要進行任何假設,
對於固定的盤面可以直接求出公式解,而且在電腦上,
已經有許多工具可以很快速的找出線性方程組的解。
假設這九個位置被選取到的次數分別是:
A B C
D E F
G H I
接下來會不斷使用同餘運算,a ≡ b (mod m) 可以理解成 a-b 是 m 的整數倍。
先看最左上角的燈,暗變成亮必須變換奇數次,而狀態只受到 ABD 的影響,
可以列出條件:A+B+D ≡ 1 (mod 2)
接著是上面中間的燈,必須變換偶數次,而且只受到 ABCE 的影響,
所以是:A+B+C+E ≡ 0 (mod 2)
剩下的七個燈也用相同的方法轉換成方程式,
就得到一組包含九個變數與九個式子的聯立方程:
A+B+D ≡ 1 (mod 2)
A+B+C+E ≡ 0 (mod 2)
B+C+F ≡ 0 (mod 2)
A+D+E+G ≡ 0 (mod 2)
B+D+E+F+H ≡ 0 (mod 2)
C+E+F+I ≡ 1 (mod 2)
D+G+H ≡ 1 (mod 2)
E+G+H+I ≡ 0 (mod 2)
F+H+I ≡ 1 (mod 2)
接下來就是解出 A~I,解一般線性方程組的各種方法碰到同餘運算仍然適用
(加減消去法、代入消去法、矩陣高斯消去等等),
不過過程相當冗贅,這裡直接省略,以下是這組聯立方程的解:
A ≡ 1 (mod 2)、B ≡ 0 (mod 2)、C ≡ 0 (mod 2)、
D ≡ 0 (mod 2)、E ≡ 1 (mod 2)、F ≡ 0 (mod 2)、
G ≡ 0 (mod 2)、H ≡ 1 (mod 2)、I ≡ 0 (mod 2)。
為了讓切換次數最少,全部都取最小正整數,
得到 A=1、B=0、C=0、D=0、E=1、F=0、G=0、H=1、I=0。​​​​​​​
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