點燈遊戲謎題解析--GameSchool遊戲學校

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點燈遊戲 - 謎題解析

觀察角落有三個暗燈，如果三個暗燈都在不同次點亮的話，就要耗掉三次機會， 
就沒有辦法把切換時產出的其他暗燈點亮了， 
所以可以推論至少有一次要把角落兩個暗燈同時點亮， 
能做到這件事情的只有切換『左排中央』或『下排中央』這兩顆才有可能， 
剩餘步驟只要簡單嘗試一下就可以知道囉~ 
 <hr />以下介紹點燈遊戲最直接的代數解法，不建議用紙筆，更不建議只用腦袋。 
（其實這個經典遊戲已經被許多人研究過，這裡只是在介紹其他的觀點， 
許多奇特的解法、尋找解答的程式在網路上搜尋一下就有了） 
點燈遊戲使用代數解法的優點在於，解題完全不需要進行任何假設， 
對於固定的盤面可以直接求出公式解，而且在電腦上， 
已經有許多工具可以很快速的找出線性方程組的解。 
假設這九個位置被選取到的次數分別是： 
A B C 
D E F 
G H I 
接下來會不斷使用同餘運算，a ≡ b (mod m) 可以理解成 a-b 是 m 的整數倍。 
先看最左上角的燈，暗變成亮必須變換奇數次，而狀態只受到 ABD 的影響， 
可以列出條件：A+B+D ≡ 1 (mod 2) 
接著是上面中間的燈，必須變換偶數次，而且只受到 ABCE 的影響， 
所以是：A+B+C+E ≡ 0 (mod 2) 
剩下的七個燈也用相同的方法轉換成方程式， 
就得到一組包含九個變數與九個式子的聯立方程： 
A+B+D ≡ 1 (mod 2) 
A+B+C+E ≡ 0 (mod 2) 
B+C+F ≡ 0 (mod 2) 
A+D+E+G ≡ 0 (mod 2) 
B+D+E+F+H ≡ 0 (mod 2) 
C+E+F+I ≡ 1 (mod 2) 
D+G+H ≡ 1 (mod 2) 
E+G+H+I ≡ 0 (mod 2) 
F+H+I ≡ 1 (mod 2) 
接下來就是解出 A~I，解一般線性方程組的各種方法碰到同餘運算仍然適用 
（加減消去法、代入消去法、矩陣高斯消去等等）， 
不過過程相當冗贅，這裡直接省略，以下是這組聯立方程的解： 
A ≡ 1 (mod 2)、B ≡ 0 (mod 2)、C ≡ 0 (mod 2)、 
D ≡ 0 (mod 2)、E ≡ 1 (mod 2)、F ≡ 0 (mod 2)、 
G ≡ 0 (mod 2)、H ≡ 1 (mod 2)、I ≡ 0 (mod 2)。 
為了讓切換次數最少，全部都取最小正整數， 
得到 A=1、B=0、C=0、D=0、E=1、F=0、G=0、H=1、I=0。

備註

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