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若 P 則 Q ;若 非Q 則 非P ?邏輯謎題

答對率:73%

「若 P 則 Q」是一個條件句,表示 P 和 Q 兩個命題之間有條件關係。邏輯上,我們也知道 「若 P 則 Q」的等價說法是 「若 非Q 則 非P」(即 "換質換位律"),是可以互相推論的。
例如:從「若有火災,則有濃煙產生。」一句,可以推論出「若沒有濃煙產生,則沒有火災。」 (而 「若沒有火災,則沒有濃煙產生。」則是錯誤的推論)

以上的邏輯應該是普遍被接受的。不過,以下幾個情境,從「若 P 則 Q」推論出「若 非Q 則 非P」,卻好像怪怪的…

(1)
有一天小明放學回家後,打開冰箱看見有一盒蛋糕,高興地伸手要拿來,這時媽媽過來制止,因為等一下就要吃晚飯了。不過小明央求媽媽讓他吃。
媽媽:「那只能吃一塊哦。如果你不只吃一塊蛋糕,等一下就吃不下晚飯了。
後來到了吃晚飯時間,全家一起吃飯,小明默默地把晚餐吃完後就離席了。
妹妹看著,心想:若媽媽說得對,根據換質換位律,就有「若哥哥吃得下晚飯,則哥哥只吃一塊蛋糕。」;哥哥既然吃完晚餐了,那就可以推出哥哥只有吃一塊蛋糕...…希望他不要把我喜歡的草莓口味吃掉。
妹妹想著想著,也想吃蛋糕了。打開冰箱一看,卻發現…不是這麼回事。

請問妹妹的推論有什麼問題?


(2)
有一天妹妹放學回家之後,聽見爸爸正在數落小明,貌似是哥哥 (小明) 又考不及格了。
爸爸罵道:「你啊,太不認真了!如果不挨罵就不好好念書!
妹妹心想:若爸爸說得對,根據換質換位律,就有「若好好念書,則挨罵!」;既然如此,那還是叫哥哥別念書了。因此妹妹之後就三不五時去打擾哥哥念書。然而下次考試過後,哥哥又被爸爸罵了。

請問妹妹的推論有什麼問題?


(3)
有一天晚上妹妹去街上買東西,偶然看見哥哥(小明)和一位女子,面色凝重地對視。妹妹好奇,就躲在牆角聽他們的對話。
女子:「如果我不在你身邊,你也能無所謂地正常生活嗎?」
小明:「……恩。」
女子:「…那……我們還是分手吧。」說完便轉身走了,留下小明一人佇立在路中央。
妹妹聽了,心想:哇!還不知道哥哥居然交了女朋友吔…,不過現在看來是吵架了。若哥哥的回答是真的,根據換質換位律,就有若哥哥不能正常的生活,則女朋友就在他身邊!」,嗯…我就來幫助他們復合吧!
此後,小明時常坐到塗滿膠水的椅子、喝到辣椒牛奶、出家門踩到香蕉皮、睡醒發現臉被畫得像熊貓,過著悲催的生活。然而,他始終沒有再與那位女子繼續交往。

請問妹妹的推論有什麼問題?

mightqxc2014-02-18提供(2014-02-18修改)
來源:大致自編
看答案
聲明:
@  「若 P 則 Q」與等價 「若 非Q 則 非P」(即 "換質換位律"),是邏輯上正確的,本身沒有問題;因此本題中妹妹的推論問題,都是出在語句上沒有處理好,導致語意錯誤。
@  為了強調妹妹的推論有問題,故事中讓事實與妹妹的推論不符合,且內容略誇張。(其實,即使事實與推論相符,也不代表推論沒有問題;即使推論正確,因為現實中變化因素太多,也不見得會符合推論。)

(1)
雖然媽媽讓小明吃蛋糕,但爸爸知道後卻嚴格禁止,故其實小明一塊蛋糕都沒吃,吃完晚飯後就怏怏地離席了。
妹妹的推論問題在於,在否定句子時貿然地 加上或刪去 否定詞 (不、沒、…),忽略了語詞的意義。「不只吃一塊」的意思是「吃兩塊以上」,其否定應該是「吃一塊或沒吃」;因此妹妹的推論中「只吃一塊」就少了哥哥沒吃蛋糕的情況。
以下例子中,差一個否定詞,但語意上並非真正是否定 (互補) 關係:
  • 「只有一個」和「不只有一個」
    前者的否定是「有兩個以上 或 沒有」;後者的否定是「有一個 或 沒有」
  • 「他幾乎成功」和「他幾乎沒成功」
    前者的否定是「他成功  或 他沒成功,還差得遠呢」;後者的否定是「他沒成功 或 他十拿九穩地成功」
  • 「這個想法是錯的」和「這個想法是不錯的」
    前者的否定是「這個想法是對的 (但沒說好不好)」;後者的否定是「這個想法是不好的 (但沒說對不對)」
  • 「你應該去見他」和「你不應該去見他」
    前者的否定是「你沒必要去見他 (可以去但不建議)」;後者的否定是「你可以去見他 (去也沒什麼不好)」
看看各位能不能再想出其它例子。
不過妹妹也沒有吃到蛋糕;她打開冰箱時發現蛋糕都不見了,回頭一看發現爸爸抱著整盒蛋糕在猛吃。


(2)
很明顯妹妹的推論和爸爸的話有出入,也不符合現實。
妹妹的推論問題在於,忽略了事件的先後順序 (或因果關係)。語文上,常常會省略說明事情的先後因果,先發生的事先說,後發生的事後說;但是用換質換位律,把 P, Q 兩句加否定、換位置的時候,P, Q 本身的先後順序並不能變,所以語句上要特別說明先後。
「如果不挨罵就不好好念書!」的意思是「如果不先挨過罵,之後就不好好念書。」,用換質換位律時,仍要保留先後,所以應該是「如果之後(結果)好好念書,則是(因為)先挨過罵。」,而非妹妹的推論「如果(因為)好好念書,則(結果)會挨罵。」;推論倒果為因,自然會出問題。
以下舉幾個類似的例子:
由「若不打,則不成器。」 推論出 「若成器,則打!」(誤) ;「若成器,則是因為打過。」 (正)
由「若越受挫,則越勇敢。」 推論出 「若越不勇敢,則越不受挫!」 (誤);「若越不勇敢,則是因為越沒受挫。」 (正)


(3)
仔細想一想就可以發現,女子說的話並不是條件句。
妹妹的推論問題在於,對於不能用換質換位律的句子,用了換質換位律
雖然口語上「如果我不在你身邊,你也能正常生活?」之中有「如果」二字,但是女子這句話的意思應該是「即使我不在你身邊,你也能地正常生活?」,或是「無論我在不在你身邊,你也能正常生活?」;這裡的「我不在你身邊」和「你能正常生活」不是條件關係,這句話就不是條件句,自然也就不能隨意用換質換位律了。

看到有朋友的留言,用符號表示語句,也是滿好的方法。給學過基礎邏輯的朋友參考:
令 P 是「我在你身邊」,Q 是「你能正常生活」。
則「如果我不在你身邊,你也能正常生活。」的意思可拆成兩句:「如果我在你身邊,你能正常生活。」與「如果我不在你身邊,你能正常生活。」。符號表示即 (P → Q) 、(~P → Q)。
另外, (P ∨ ~P) 是恆真句,可以直接當前提。
因此,用  Disjunction elimination 規則,可得結論是 Q ,即「你能正常生活。(無論我在不在身邊)」


其他類似的例子我想不到太多,如:
A:「如果明天他沒來怎麼辦?」
B:「如果他沒來,活動還是照常舉行。」
其實 B 的意思是「活動照常舉行。(不管他來不來)」。
各位若有想到好的例子,請不吝分享。

另外,就算女子的話是條件句,即「如果我不在你身邊,則你能正常生活。」,其中也有先後因果關係,故做換質換位律後,應是「如果你不能正常生活,則是因為我在你身邊。」,而非妹妹倒果為因的推論「如果你不能正常生活,則我就不在你身邊。」。
因此妹妹一廂情願地擾亂哥哥的生活,自然是無法幫助他。

P.S. 雖說這題用換質換位律是錯的,但是並非只有「條件句」才能用換質換位律。如:
「所有昆蟲,都是六隻腳的。」用換質換位律後,得「所有不是六隻腳的,都不是昆蟲。」。雖然這句不是條件句,但換質換位律是成立的。
 

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