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抓瓜子2邏輯謎題

答對率:58%
原本的題目請遺忘它吧,已經進行了修正
抓瓜子1
這時爸爸走了過來說到:「你們倆好像在玩有趣的遊戲呢,也讓我參加吧。」
於是他們重新抽籤,新的順序為小凱、小治、爸爸
「既然多了一個人,那瓜子也多一點吧。」爸爸一邊說著,一邊多倒一些瓜子在桌上,小治和小楷數了數,確定現在桌上有128個瓜子。
小治和小楷心想每次玩遊戲總會輸給爸爸,於是他們互相使眼神,決定聯合起來讓爸爸輸。
爸爸發現他們倆眼神有問題,於是便拿起桌上一個瓜子吃了起來,說到:「我看你們古靈精怪,剛剛不曉得偷偷講了什麼,這樣好了,你們兩個可以聯手讓我輸,但是你們一人最多拿2個瓜子,也就是一次只能抓1~2個瓜子。」
那麼如果其他規則不變,小治第一次應該抓多少個瓜子才能合作讓爸爸輸掉呢?
katian(❀╹◡╹)2014-01-28提供(2014-01-28修改)
來源:原創
看答案
不管怎麼抓,都是爸爸贏。

解析

我要編輯
因為兩個兒子可以聯手,所以讓他們合體成一個人,一次可以拿 2~4 個瓜子,這樣就變成父子兩人對戰了。

然後用逆推方式找規則。用以下表格,要填入格內的數字是「剩下的瓜子數量 使得之後輪到誰拿的時候必輸/必贏」。
如果只剩 1 顆瓜子,換爸爸拿,那他必輸,故在下面「父輸」的格子填上 1。同理,如果只剩 1 或 2 顆瓜子,換兒子拿,那他必輸 (因為至少一次拿兩個),故在下面「子輸」的格子填上 1, 2 。
接下來,如果瓜子剩 3~5 個,換兒子拿,兒子必贏,因為可以拿到剩 1 個給爸爸,故在「子贏」的格子填上 3, 4, 5 (這裡的 3~5 就是 1 + (2~4) );同理,如果瓜子剩 2~5 個,換爸爸拿,爸爸必贏,故在「父贏」的格子填上  (1~2) + (1~3) = (2~5)。目前填好如下:
 
父 (可拿 1~3) 子 (可拿 2~4)
1 2, 3, 4, 5 1, 2 3, 4, 5
       
       

然後,再從「子贏」的格子推下一排的「父輸」。因為剩 3~5 顆換子拿則子必贏,故剩 6 顆時換父拿父必輸 (父拿完就剩 3~5 顆給子),故在「父輸」填上 6 (這裡要確保 6 - (1~3) = (3~5) 都在子贏的範圍內)。同理,在「子輸」就是填上 6, 7 (因為 6 - (2~4) = (2~4) ; 7 - (2~4) = (3~5) ,都在父贏的範圍內。)。填完如下:
 
父 (可拿 1~3) 子 (可拿 2~4)
1 2, 3, 4, 5 1, 2 3, 4, 5
6   6, 7  
       

再來就是仿照上面的方法,不斷往下推即可。把握兩個原則:
輸推贏: (子贏) = (父輸) + (子可拿);(父贏) = (子輸) + (父可拿)。
贏推輸: (父輸) = X ,要確保 X - (父可拿) 都在 (子贏) 的範圍;(子輸) = Y ,要確保 Y - (子可拿) 都在 (父贏) 的範圍。

這裡填完三排如下:
父 (1~3) 子 (2~4)
1 2, 3, 4, 5 1, 2 3, 4, 5
6 7, 8, 9, 10 6, 7 8, 9, 10
11 12, 13, 14, 15 11, 12 13, 14, 15

因此規則應該很明朗了 (要證明也不難),瓜子數量除以 5 餘為
1 :換誰誰必輸。
2: 換父父必贏,換子子必輸。
3, 4, 整除:換誰誰必贏。

題目一開始有 127 個瓜子 (爸爸偷嗑一個),除以 5 餘 2,故無論是爸爸先拿還是小凱先拿,爸爸必贏。
如果改成小治先拿,他只要先拿一個,爸爸就必輸。
4,397
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