以下提供三種證明法:
一、用和的平方公式證明
令n為自然數(正整數),a為整數且-25≦a≦25
(50n+a)
2
=(50n)
2+2×50n×a+a
2
=2500n
2+100an+a
2
=100(25n
2+an)+a
2
由此可證(50n+a)
2的後2碼必為a
2的後2碼
而1~25和(-1)~(-25)的平方數相同
而0,10,20的平方後2碼皆為00,5,15,25的平方後2碼皆為25
所以情況共有26-4=22種
其中算式中的26代表0~25,而4為重複的部分
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5n×10
k-1+a)
2證實後k碼必定重複。
二、用遞迴關係式證明
n
2的遞迴關係式如下:
即平方數為1,3,5,7,9……由1開始的連續奇數相加構成,
而我們知道49+51=100,而兩者往前和往後提又分別是47+53,類推往外
證明法如下:
則x或(x+n)至少有一個為25的倍數時,an和an+2x的後2碼就相同
由於x是變數,故至少有一個n加上任意變數x時最多加上24,最少加上0會變為25的倍數
所以所有整數平方的後2碼都會和0~25平方的後兩碼相同,去除掉重複的00和25後,答案即為22個
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用an+4x(x+n)
證實x或(x+n)至少有一個為10
k/4的倍數時後k碼必定重複(一碼時不適用)。
三、用平方差公式證明
n
2-x
2+x
2
=(n+x)(n-x)+x
2
(n+x)(n-x)為100的倍數時,尾數為x
2
因為兩者相差2x,故兩者皆為奇數或皆為偶數
當兩者皆為偶數時,只要其中一項是50的倍數,另一項就會是2的倍數
將n-x代入50a(其中a為0或正整數),得(50a)(50a+2x)=100a(25a+x)
將n+x代入50b(其中b為正整數),得(50b)(50b-2x)=100b(25b+x)
n要透過±x來變為50的倍數時,最多只要±25即可用最少步數達成目標
故當-25≦x≦25即可滿足條件
因為尾數為x
2,故將負數部分和後2碼相同,多餘的00和25者去掉
即可得到有22種解
而後3碼或更多碼(後k碼)亦可用(5a×10
k-1)(5a×10
k-1+2x)=(a×10
k)(25a×10
k-2+x)
或者(5b×10
k-1)(5a×10
k-1-2x)=(a×10
k)(25a×10
k-2-x)
透過調整變數x使n±x形成5×10
k-1證實後k碼必定重複(一碼時不適用)。