國王:
考慮國王站在上圖16個區塊中任意一個藍色或綠色區塊中,
則該區塊均在那個國王的吃子範圍內,因此每個區塊最多只能擺放1個國王,
即可以擺放的數量不超過16個。
下圖為一種16個國王的擺法:
主教:
將棋盤順時針旋轉45度後,可以轉換為非矩形盤面的城堡問題,
而深色和淺色的版面是互不干涉的,所以可以分開處理,
且兩個版面僅為旋轉90度的差距,因此只需處理一個版面即可。
看淺色版面,因只有7行,因此可擺放的主教不超過7個,
而從只有2格的2行開始推理,可以得到每行都能擺1個主教,即擺7個主教是可行的,
將兩個盤面綜合起來即可得知原盤面最多可以擺放14個主教。
下圖為其中一種擺法:
騎士:
先看4×4的棋盤,上圖被分為4種不同顏色的區域,
而每種顏色的區域最多只能放2個騎士,因為每個騎士的吃子範圍會包含2個同色格子,
因此在這個這個棋盤上能擺放的騎士不超過8個,
而8×8的棋盤由4個4×4的棋盤構成,因此能擺放的騎士不超過32個。
留意到原棋盤上的騎士的吃子範圍都與所擺位置的格子顏色相異,
能夠推測出將32個騎士擺在同色格子能夠滿足條件,因此最多的確能擺32個。
下圖為其中一種擺法:
附錄:
在引言中,我們提到在8×8棋盤上擺放最多城堡、皇后並使彼此不在吃子範圍的擺法數,
那麼題目中的國王、主教以及騎士又是如何呢?
國王的話擺法數不難推測出58=390625為一個上界(即擺法數不超過390625)。
以解析第一張圖每個2×2的綠色或藍色區域為例,國王會擺在左邊2格或右邊2格,
就第一橫列的4塊區域從左往右來看,
若某個區域擺在右邊,則下一個區域的國王就不會擺在左邊,
因此可能的情況只有:左左左左、左左左右、左左右右、左右右右、右右右右5種,
總共有4橫列區域因此會有54種情況,
再加上考慮每一縱列國王擺在上面2格或下面2格,也會有54種情況,
因此將這些情況綜合考慮即為54×54=58種情況。
不過還要考慮斜向兩塊區域上的國王可能會彼此進入吃子範圍的問題,
例如國王分別擺在B2及C3可以滿足16個2×2區域內各1個國王且不與上面提及的情況衝突,
但這兩個國王會在彼此的吃子範圍,因此擺法數會比58還少。
因為計算實際數量會需要使用排容原理進行大量且繁瑣的計算,
處理上使用程式的窮舉計數計算效率可能還比較高。而經過計算,16個國王彼此不在攻擊範圍的擺法共有281571種。
雖然實際擺法數與我們預估的上界58=390625有不小的差距,
但至少比每個2×2區域隨意各放一個國王的擺法數416≒43億小了很多。
主教的話因轉換為城堡模式的棋盤後,
必須放在滿足m+n=9的m×n矩形的其中一組對角,
(若m或n等於1則為兩格中其中一格)
如果擺在其他地方可以簡單推測出會無法擺滿14個主教,
因此14個主教彼此不再攻擊範圍的擺法共有28=256種。
騎士的話可以由4×4的棋盤推論出可能擺出8個騎士的盤面,
再延伸將4個盤面拼湊確認拼湊後騎士是否會互相衝突,
得到擺法只有將騎士站在原棋盤同一顏色的32個格子上的2種。