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1-1+1-1+1-1+...=? - 謎題解析

大家可以先參考這個<a href="https://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4" target="_blank">英文影片</a> 
以下的詳解是以此影片為基礎再做更明確的解釋 
簡單來說，影片是在探討一段無限長的數列如何以"趨近"的方式得到總和 
 
因為算無限多項的總和沒有辦法一個一個加到最後， 
所以數學家使用了兩種常見的趨近方法： 
 
(以下以1+1/2+1/4+1/8+1/16+...為例) 
 
方法1) 
依序算每一項之前的總和 再找是否趨近 
第一項：1=1 
第二項：1+1/2=1.5 
第三項：1+1/2+1/4=1.75 
第四項：1+1/2+1/4+1/8=1.875 
最後我們得知 
第n項之前總和為2-(1/n) 
而當n越來越大時，1/n會越來越小， 
最後答案則會越趨近於2 
 
接著我們回頭看題目 
1-1+1-1+1-1+... 
第一項：1=1 
第二項：1-1=0 
第三項：1-1+1=1 
第四項：1-1+1-1=0 
第五項：1-1+1-1+1=1 
此時我們發現，似乎依照這個方法無法得知一個趨近的答案， 
所以讓我們來看第二個方法... 
 
方法2) 
類似方法1，但找出依序前n項的總和之後，再將之前算過的總和平均起來，最後再找趨近 
第一項：1 
先前所有結果平均：1/1=1 
第二項：1.5 
先前所有結果平均：(1+1.5)/2=5/4 
第三項：1.75 
先前所有結果平均：(1+1.5+1.75)/3=17/12 
第四項：1.875 
先前所有結果平均：(1+1.5+1.75+1.875)/4=49/32 
同樣的，這個結果最後也會趨近於先前的答案2 
 
接著我們回頭看題目 
第一項：1 
先前所有結果平均：1/1=1 
第二項：0 
先前所有結果平均：(1+0)/2=1/2 
第三項：1 
先前所有結果平均：(1+0+1)/3=2/3 
第四項：0 
先前所有結果平均：(1+0+1+0)/4=1/2 
第五項：1 
先前所有結果平均：(1+0+1+0+1)/5=3/5 
我們由此發現，雙數項都維持在1/2，而單數項則趨近於1/2 
所以最後我們得知(大部份數學家承認的)答案為1/2

備註

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