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1-1+1-1+1-1+...=?數學謎題

答對率:78%
1-1+1-1+1-1+...=?
(存在無限多項)
這問題曾經被許多數學家討論許久
因為這個問題可以使用3種不同方式導出3種不同答案
你能想出是哪3種嗎?

答案--3種不同算法
解析--大多數學家最後承認的解答及原因

(不好意思 先前打錯題目 緊急更正了一下) 
jerry1021dd(章魚~)2014-01-26提供(2014-01-26修改)
看答案
第一種
(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0
第二種
1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-...=1
第三種
令S=1-1+1-1+1-1+...
S=1-(1-1+1-1+1-1+...)
S=1-S
S=1/2

解析

我要編輯
大家可以先參考這個英文影片
以下的詳解是以此影片為基礎再做更明確的解釋
簡單來說,影片是在探討一段無限長的數列如何以"趨近"的方式得到總和

因為算無限多項的總和沒有辦法一個一個加到最後,
所以數學家使用了兩種常見的趨近方法:

(以下以1+1/2+1/4+1/8+1/16+...為例)

方法1)
依序算每一項之前的總和 再找是否趨近
第一項:1=1
第二項:1+1/2=1.5
第三項:1+1/2+1/4=1.75
第四項:1+1/2+1/4+1/8=1.875
最後我們得知
第n項之前總和為2-(1/n)
而當n越來越大時,1/n會越來越小,
最後答案則會越趨近於2

接著我們回頭看題目
1-1+1-1+1-1+...
第一項:1=1
第二項:1-1=0
第三項:1-1+1=1
第四項:1-1+1-1=0
第五項:1-1+1-1+1=1
此時我們發現,似乎依照這個方法無法得知一個趨近的答案,
所以讓我們來看第二個方法...

方法2)
類似方法1,但找出依序前n項的總和之後,再將之前算過的總和平均起來,最後再找趨近
第一項:1
先前所有結果平均:1/1=1
第二項:1.5
先前所有結果平均:(1+1.5)/2=5/4
第三項:1.75
先前所有結果平均:(1+1.5+1.75)/3=17/12
第四項:1.875
先前所有結果平均:(1+1.5+1.75+1.875)/4=49/32
同樣的,這個結果最後也會趨近於先前的答案2

接著我們回頭看題目
第一項:1
先前所有結果平均:1/1=1
第二項:0
先前所有結果平均:(1+0)/2=1/2
第三項:1
先前所有結果平均:(1+0+1)/3=2/3
第四項:0
先前所有結果平均:(1+0+1+0)/4=1/2
第五項:1
先前所有結果平均:(1+0+1+0+1)/5=3/5
我們由此發現,雙數項都維持在1/2,而單數項則趨近於1/2
所以最後我們得知(大部份數學家承認的)答案為1/2
4,575
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