正立方體的最大切面謎題解析--GameSchool遊戲學校

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正立方體的最大切面 - 謎題解析

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這裡只考慮截面有過正方體中心的情形。如上圖，正方體邊長為 1 ，紅色區為一個過方體中心的截面，假設截於兩個邊到一個頂點的距離分別為 a 與 b (隨著截面不同而改變)。那麼由於對稱性 (因為截面過中心)，在對面的位置的截距也是 a 與 b ；而由於截面為一平面，故截於第三條邊的截點會把邊分成 (a-ab)/(a+b-2ab) 與 (b-ab)/(a+b-2ab)。 
這樣，就可以計算截面 (六邊形) 的面積。如圖，將六邊形切成兩個全等的三角形和一個平行四邊形。 
兩個三角形的面積 = √2 × (1-a)(1-b) × √( a2 + ab + b2 -2a2b -2ab2 + 2a2b2 )  / (a + b - 2ab) 
平行四邊形的面積 = √( a2 + b2 + (a + b - 2ab)2 ) 
將以上兩者相加即為六邊形的面積。 (以上計算皆可用高中數學的空間向量來計算；例如，解平面方程、用向量外積來算面積等等…) 
 
這個面積的式子很複雜，就交給電腦吧…。圖形如下： 
 
<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/942.png" style="height:300px;width:503px;" alt="" /> 
這是三維的圖，鉛直方向的軸代表截面積大小，另兩個軸代表 a 和 b 的值 (介於 0 和 1 之間)。可以看出有三組 (a，b) 讓截面積最大 (面積是 √2 ≈1.41 ) ，分別是 (a，b) = (0，1)、(1，0)、(1，1)，而這三種都對應到 bbbnnn 大所解的長方形。(註： 如果真的把 (a，b) = (0，1)、(1，0)、(1，1) 代入以上的截面積式子，會出現分母為 0 的情形；但是從上圖中截面積隨著 a、b 變化的趨式，還是可以知道以上三組是截面積最大的。) 
 
因此如果截面要過正方體中心，那最大就是沿正方形對角線垂直切下去的長方形了。至於是不是所有截面最大的？我覺得是，但在此不討論了。或許有朋友可以說明  不過中心的截面  的情形。 
 
P.S. 各位可以想想，過中心的截面，面積「最小」的是要怎樣切。(若要求截面過相鄰兩邊則答案可由上圖得到，否則就是平行任一表面截出邊長為 1 的正方形)。

備註

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