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正立方體的最大切面空間概念謎題

答對率:79%

有一個正立方體,
從不同角度直切一刀可以形成多種不同的橫切面,
請問,怎麼切可以切出面積最大的橫切面呢?

NaoLiBuJi(腦力補給)2013-10-04提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2013-10-04/
看答案

如下圖從頂面的對角線直直往下切到底:

(註:原提供之正六邊形切法並非正解,感謝網友反映修正)

解析

我要編輯


這裡只考慮截面有過正方體中心的情形。如上圖,正方體邊長為 1 ,紅色區為一個過方體中心的截面,假設截於兩個邊到一個頂點的距離分別為 a 與 b (隨著截面不同而改變)。那麼由於對稱性 (因為截面過中心),在對面的位置的截距也是 a 與 b ;而由於截面為一平面,故截於第三條邊的截點會把邊分成 (a-ab)/(a+b-2ab) 與 (b-ab)/(a+b-2ab)。
這樣,就可以計算截面 (六邊形) 的面積。如圖,將六邊形切成兩個全等的三角形和一個平行四邊形。
兩個三角形的面積 = √2 × (1-a)(1-b) × √( a2 + ab + b2 -2a2b -2ab2 + 2a2b2 )  / (a + b - 2ab)
平行四邊形的面積 = √( a2 + b2 + (a + b - 2ab))
將以上兩者相加即為六邊形的面積。 (以上計算皆可用高中數學的空間向量來計算;例如,解平面方程、用向量外積來算面積等等…)

這個面積的式子很複雜,就交給電腦吧…。圖形如下:


這是三維的圖,鉛直方向的軸代表截面積大小,另兩個軸代表 a 和 b 的值 (介於 0 和 1 之間)。可以看出有三組 (a,b) 讓截面積最大 (面積是 √2 ≈1.41 ) ,分別是 (a,b) = (0,1)、(1,0)、(1,1),而這三種都對應到 bbbnnn 大所解的長方形。(註: 如果真的把 (a,b) = (0,1)、(1,0)、(1,1) 代入以上的截面積式子,會出現分母為 0 的情形;但是從上圖中截面積隨著 a、b 變化的趨式,還是可以知道以上三組是截面積最大的。)

因此如果截面要過正方體中心,那最大就是沿正方形對角線垂直切下去的長方形了。至於是不是所有截面最大的?我覺得是,但在此不討論了。或許有朋友可以說明  不過中心的截面  的情形。

P.S. 各位可以想想,過中心的截面,面積「最小」的是要怎樣切。(若要求截面過相鄰兩邊則答案可由上圖得到,否則就是平行任一表面截出邊長為 1 的正方形)。
 
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