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數字差金字塔數學謎題

答對率:81%

數字差金字塔的規則是這樣的:
每一個上面的數字,都要等於它下面兩個數字的差,
且金字塔內不能有重複的數字,
如下圖範例,3=5-2, 5=6-1, 2=6-4

那麼,
你能夠把1~10這十個數字也堆出一個數字差金字塔來嗎?

NaoLiBuJi(腦力補給)2013-09-11提供
來源:http://www.morningrefresh.com/iq/daily/2013-09-11/
看答案

答案有很多種,下面是其中之一:

解析

我要編輯
首先,我們將這十個圈圈分成四類:
綠圈─最上面的圈圈
紅圈─綠圈或紅圈底下兩個數字中比較大的那個,在這有3個紅圈
藍圈─綠圈或紅圈底下兩個數字中比較小的那個,在這有3個籃圈
黑圈─剩下的圈圈,也會有3個
如果將腦補給的答案依此方法分類的話,就會像右圖:
(註:以下所提的圈圈主要都是指在該圈圈內的數字)

那麼,推論要開始了!
I. 10一定會在最下面
因為任兩個數的差不會大於10-1=9,故如果10不在最下面的話,10下面不會有符合條件的數字組。
所以10一定要在最下面

II. 任意一個紅圈為綠圈加上所有不比該紅圈下面的藍圈和
由紅圈的定義,可知在一個紅-紅-藍(或綠-紅-藍)的小三角形內(正的三角形,不是倒的三角形),下面的紅圈-藍圈=上面的紅圈(或紅圈-藍圈=綠圈),即下面的紅圈=上面的紅圈+藍圈(或紅圈=綠圈+藍圈)。
因此將紅圈慢慢拆開,會得到所有不比該紅圈還要下面的藍圈和綠圈。
以腦補的答案為例:9=2+7=2+4+3

III. 所有藍圈和綠圈絕對會是1~4;最底下的紅圈只可以為10
由II可知,所有藍圈和綠圈的和為最底下的紅圈,則該紅圈>=1+2+3+4=10。
但我們最大的數字只有10,故最底下的紅圈只可以為10。
而所有藍圈和綠圈就會是1~4。
相對的,1~4只能填到藍圈和綠圈內;10只能填到最底下的紅圈。

IV. 最上面的綠圈和藍圈只能為(1,4) (2,3) (2,4) (3,4)其中一種
如果最上面的綠圈和藍圈為(1,2)的話,則藍色旁邊的紅色會是3。
但由III可知3只能填入藍圈或綠圈,故不合。
同理(1,3)也不行。

V. 請看敘述吧...
如果將左右對稱視為同種,則圈圈顏色的排列方法只有右邊四種。
如果是左邊兩種的話,則會在右下角形成一個二階的小數字差金字塔。
由III可知填入的數須從5~9去取,由II可知其中一個要是另外兩個的和。
但是任意兩個數的和>=5+6=11,故不合。
所以排列方法只能為右邊兩種。


大致上就是這些了,然後用這些條件去慢慢找,就可以找出以下解答:


看起來紅色圈的排法也只有一種,雖然這是可以證明的,但我就不多詳述了。
另外也還有兩個條件沒有提到,雖然在這裡是不太需要,但也是一個好的條件
VI. 在同一層中,藍圈是那一層最小的數
由前面所提可知每一層僅有一個藍圈。
而藍圈的組成為1~4的其中三個數,這意味著不論是紅圈還是黑圈,都會比任何一個藍圈大。
且藍圈所在的層也只會有紅圈或黑圈。
所以藍圈會是該層之中最小的數字。
VII. 在同一層中,紅圈是那一層最大的數
這裡我們採數學歸納法。
其中最底層為第一層,每往上一層加1。
a. 10為第一層中最大的數(10也是整個三角形中最大的數)。
b. 如果第k層中紅圈為第k層中最大的數,那麼第k+1層也會是第k+1層中最大的數。
由VI 可知第k層的藍圈為第k層中最小的數。
而第k+1層的數理論上最大為第k層中的紅圈減去第k層中的藍圈。
而由定義可知此數為第k+1層的紅圈。
由此可知第k+1層的紅圈為第k+1層的最大的數。
而由a和b可知所有紅圈為該層中的最大的數。
13,232
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