十次整除的十位數謎題解析--GameSchool遊戲學校

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十次整除的十位數 - 謎題解析

A) 因為 0~9 各只能用一次，有五個奇數五個偶數；由於偶數的倍數末位只能是偶數，故偶數位的地方只能放偶數 (剛好5個對5 個)，因此剩下奇數位只能放奇數。(這邊的第幾位都是從左邊開始算起，下同。) 
B) 5 的倍數末位只能是 5 或 0 ，而 10 的位數末位一定是 0 。因此第五位是 5 ，第十位是 0。 
C) 看前四位數：根據 A ，奇數位的地方只能是奇數，故第三位為奇數。由於前四位數是 4 的倍數，且第三位為奇數，故第四位 一定要是 2 或 6 (而不能是 4、8)。 
D) 同理，因前八位數是 8 的倍數 (也是 4 的倍數)，但第六位是偶數，第七位是奇數，故第八位數一定要是 2 或 6，而且可得知：若第七位為 3、7 時，第八位為 2 (第四位就只好是 6)；若第七位為 1、9 時，第八位為 6 (第四位就只好是 2)。 
E) 因此，第二、第六位則是剩下的 4、8。 
F) 注意到前三位數是 3 的倍數，前六位數是 6 的倍數，因此「第四到第六位數」，也是 6 (或 3) 的倍數。由於第五位已知為 5 ，所以如果第四位是 2 ，第六位就要是 8 (第二位只好是 4)；如果第四位是 6 ，第六位就要是 4 (第二位只好是 8)。 
 
先整理一下：(空格的地方可能是 1、3、7、9，就不打上了。)<table align="center" border="1" style="width:500px;"><tr><td>位數</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
</tr><tr><td>Case 1</td>
<td> </td>
<td>4</td>
<td> </td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>8</td>
<td>1</td>
<td>6</td>
<td> </td>
<td>0</td>
</tr><tr><td>Case 2</td>
<td> </td>
<td>4</td>
<td> </td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>6</td>
<td> </td>
<td>0</td>
</tr><tr><td>Case 3</td>
<td> </td>
<td>8</td>
<td> </td>
<td>6</td>
<td>5</td>
<td>4</td>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td> </td>
<td>0</td>
</tr><tr><td>Case 4</td>
<td> </td>
<td>8</td>
<td> </td>
<td>6</td>
<td>5</td>
<td>4</td>
<td>7</td>
<td>2</td>
<td> </td>
<td>0</td>
</tr></table> 
G) 前三位數是 3 的倍數，也是 6 (或 3) 的倍數。根據這樣把第一位和第三位填入上表即可。舉例，Case 1 的第二位為 4 ，第七位為 1，所以第一、三位只能放 3, 7, 9，且相加除以 3 的餘數要為 2 。發現不可能做到，故 Case 1 就不成立了。剩下的 Case 如下： (第九位也可推出)<table align="center" border="1" style="width:500px;"><tr><td>位數</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
</tr><tr><td>Case 2</td>
<td>1, 7</td>
<td>4</td>
<td>7, 1</td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>6</td>
<td>3</td>
<td>0</td>
</tr><tr><td>Case 3</td>
<td>1, 9 
7, 9</td>
<td>8</td>
<td>9, 1 
9, 7</td>
<td>6</td>
<td>5</td>
<td>4</td>
<td>3</td>
<td>2</td>
<td>7 
1</td>
<td>0</td>
</tr><tr><td>Case 4</td>
<td>1, 3 
1, 9</td>
<td>8</td>
<td>3, 1 
9, 1</td>
<td>6</td>
<td>5</td>
<td>4</td>
<td>7</td>
<td>2</td>
<td>9 
3</td>
<td>0</td>
</tr></table> 
H) 上表三個 Case 中共有 10 種可能，故最後只能靠前七位數是否整除 7 來判斷了。其實也不會太耗計算，因為每個 Case 的第四到第七位都已知道，故可先算「第四到第七位除以 7 的餘數」：可得 Case 2 的為 6，Case 3 的為 5 ，Case 4 的為 2；又因 10000 除以 7 餘 4，因此「前三位除以 7 的餘數 乘以 4 ，再除以 7 的餘數」，Case 2 的要是 1，Case 3 的要是 2 ，Case 4 的要是 5。 
 
I) 前三位計算餘數，手算一下滿快的 (厲害的人可以心算~) 。以下很快敘述一下： (只要看前三位就好) 
Case 2 的 147 已經是 7 的倍數了，所以不合 (因第四到第七位還有餘數)；Case 2 的 741 除以 7 餘 6 ，6×4=24，除以 7 餘 3，也不合 (要是 1 才行)。 
Case 3 的 189 和 987 已經是 7 的倍數了，所以不合；Case 3 的 981 除以 7 餘 1 ，1×4=4，除以 7 餘 4，也不合 (要是 2 才行)；Case 3 的 789 除以 7 餘 5，5×4=20，除以 7 餘 6，也不合 (要是 2 才行) 
Case 4 的 189 已經是 7 的倍數了，所以不合；Case 4 的 138 除以 7 餘 5 ，5×4=20，除以 7 餘 6，也不合 (要是 5 才行)；Case 4 的 981 除以 7 餘 1，1×4=4，除以 7 餘 4，也不合 (要是 5才行)；Case 4 的 381 除以 7 餘 3，3×4=12，除以 7 餘 5，總算合了，得到答案為 3816547290 (也是唯一的答案)。 
J) 第一位和第九位一定會合，不用檢查。(因為前九位是 1~9 排列組成，一定是 9 的倍數) 
 
以上文字敘述雖然長，但是大都可以用思考或心算得到 (不用太多計算)。

備註

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