死裡逃生謎題解析--GameSchool遊戲學校

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死裡逃生 - 謎題解析

假設有N人圍成一圈，用L(N)表示最後存活的人，會有以下遞迴關係：<ul><li>L(1)=1</li>
<li>L(2N)=2L(N)-1，N大於等於1</li>
<li>L(2N+1)=2L(N)+1，N大於等於1</li>
</ul>說明：<ul><li>全部只有1人時，顯然他會存活。</li>
<li>全部有2N人時，繞完一圈時（回到1身上）只剩1,3,5,...,2N-1， 
這些人被看成是重新編號成1,2,3,...,N並且進行相同的遊戲， 
如果已知這N人中第L(N)個可以存活， 
對應回原來的2N人中就是第2L(N)-1個能存活。</li>
<li>全部有2N+1人時，繞完一圈（回到1身上）時只剩3,5,...,2N+1， 
這些人被看成是重新編號成1,2,3,...,N並且進行相同的遊戲， 
如果已知這N人中第L(N)個可以存活， 
對應回原來的2N人中就是第2L(N)+1個能存活。</li>
</ul>利用上述，可以快速得知：<table border="1" style="width:500px;"><tr><td>N</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td>12</td>
<td>13</td>
<td>14</td>
<td>15</td>
<td>16</td>
</tr><tr><td>L(N)</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>3</td>
<td>1</td>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>7</td>
<td>1</td>
<td>3</td>
<td>5</td>
<td>7</td>
<td>9</td>
<td>11</td>
<td>13</td>
<td>15</td>
<td>1</td>
</tr></table>因此，L(31)=L(2x15+1)=2L(15)+1=2x15+1=31 
 
一個有趣的結論： 
如果N用2進位表示為<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/4499.png" style="width:101px;height:20px;vertical-align:middle;" alt="" />， 
L(N)用2進位表示就是<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/4500.png" style="width:103px;height:22px;vertical-align:middle;" alt="" />。 
有興趣了解更多請搜尋<a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E6%96%AF%E9%97%AE%E9%A2%98#.E6.95.B0.E5.AD.A6.E6.8E.A8.E5.AF.BC.E8.A7.A3.E6.B3.95" target="_blank">約瑟夫斯問題</a>。

備註

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