上鎖的手提箱謎題解析--GameSchool遊戲學校

精選謎題列表

其它謎題列表

謎題分類

上鎖的手提箱 - 謎題解析

由於答案已提供了保證可以在７次開鎖的方法，解析將使用離散數學中的「圖論」證明６次無法保證開鎖，以及答案所使用的方法是唯一做法，留給有興趣的網友閱讀。 
「圖」(Graph)是一種表示關係的結構。想像在一平面上有８個點(Node/Vertex)，代表著８個按鈕；當我們進行了一次操作（例如按下了ＡＢ兩個按鈕），就用一條直線(邊，Edge)把代表Ａ按鈕的點和代表Ｂ按鈕的點連起來，經過了６（或７）次操作以後這８個點之間就會有６（或７）條邊。 
雖然在遊戲內的按鈕有被編號為Ａ～Ｈ，不過其實重要的並非這些按鈕實際的編號為何，正如「圖」是一種表達關係的結構，重點是我們按下的這些按鈕之間的關係－－分成ＢＣＤ、ＥＦＧ、ＡＨ的操作在本質上和答案的ＡＢＣ、ＤＥＦ、ＧＨ是一模一樣的。 
 
８個按鈕中有４個正確的按鈕和４個錯誤的按鈕，可以想像成這８個點中有４個是紅色的點（代表錯誤的按鈕）、另外４個是藍色的點（代表正確的按鈕），如果成功開鎖就代表有一次操作（一條邊）連在兩個藍色的點上。我們要找到一個「必定開鎖」的方式，指的是「不管這８個按鈕中哪４個是正確的按鈕，透過Ｎ次操作，一定能保證有一次操作會按到２個正確的按鈕」；當我們把操作變成了一張「圖」（更精確來說是一張無向簡單圖，因為同一個操作做二次以上很明顯不會對達成目標有所幫助，只需要討論沒有重邊的圖即可）以後，前述要證明的命題就變成了以下的形式：<ol><li>不管這個有８個節點、６條邊的圖長成怎樣，都一定能找到一種點的顏色分布使得沒有一條邊是連在兩個藍色的點之上（也就是６次操作無法保證開鎖，因為一定可以出現某種按鈕的組合造成沒有成功開鎖的情況）</li>
<li>除了解答中３－３－２這一種圖的長相以外，其餘有８個節點、７條邊的圖都一定能找到一種點的顏色分布，使得沒有一條邊是連在兩個藍色的點之上（也就是答案使用的７次操作方式是唯一解，其他方式也都可以出現某種按鈕的組合造成沒有成功開鎖的情況）</li>
</ol><img src="https://imgur.com/YjnphPa.png" style="height:199px;width:600px;" alt="" /><hr />接下來我們要將「圖的長相」分為１１種，並逐一進行分析(也就是Proof by cases)。 
我們將使用「連通元件」(Connected Component)的概念對圖的長相進行分類。連通元件的概念十分簡單，當我們從一個點經過數條邊可以走到另一個點，就代表這兩個點之間是「連通」(Connected)的，而一張圖可能不會所有的點都連通在一起，每一組連通在一起的數個點就是一個連通元件。更直白地說就是「一坨被邊連在一起的點就是一個連通元件」。 
<img src="https://imgur.com/bu8BBmn.png" style="height:297px;width:600px;" alt="" /> 
我們先根據連通元件的「總數」分成四類：４個以上、３個、２個、和１個。對於３個連通元件的情形，因為總共有８個節點，一共有５種分組方法：（１１６）（１２５）（１３４）（２２４）（２３３）。２個連通元件的情形則有４種方法：（４４）（３５）（２６）（１７）。<ol><li>如果有４個以上的連通元件，那就只要在每一個元件都挑一個點塗上藍色，就達成目標了。 
<img src="https://imgur.com/uDII4Zr.png" style="height:181px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果３個連通元件的節點數量為（１１６），代表６個節點的元件上會有６（或７）條邊。注意如果這６個節點中任意２個節點都要有一條邊，則總共必須要有Ｃ６取２（組合數）＝１５＞７條邊，因此我們一定能找到兩個節點沒有一條邊將其連起來。挑選１、１、以及這兩個節點塗上藍色就達成目標了。 
<img src="https://imgur.com/NPA0EUW.png" style="height:181px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果３個連通元件的節點數量為（１２５），代表５個節點的元件上會有５（或６）條邊。同上，因為Ｃ５取２＝１０＞６條邊，因此我們可以在１、２的元件上各挑一個點，５個節點的元件上挑２個沒有連在一起的點塗上藍色。 
<img src="https://imgur.com/jxxSJu8.png" style="height:181px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果３個連通元件的節點數量為（１３４），則３個節點的元件會有至少２或３條邊，４個節點的元件則相對來說會有６－２＝４、６－３＝３（或７－２＝５、７－３＝３）條邊。不管是哪一種情況，因為Ｃ４取２＝６＞５條邊，因此我們可以在１、３的元件上各挑一個點，４個元件上挑２個沒有連在一起的點塗上藍色。 
<img src="https://imgur.com/hPvc6BZ.png" style="height:183px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果３個連通元件的節點數量為（２２４），代表４個節點上的元件會有４（或５）條邊，同上，因為Ｃ４取２＝６＞５，所以我們至少會找到其中有兩個點沒有用一條邊連在一起。在２、２的元件上各挑一個點，４的元件上挑兩個點塗上藍色即可。 
<img src="https://imgur.com/SURD6ci.png" style="height:181px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果３個連通元件的節點數量為（２３３），在６條邊的情況下兩個３個節點的元件分別會有２、３條邊，因此可以在有２條邊的元件上選兩個不相鄰的點、另外兩個元件各選一個點塗上藍色。７條邊的情況就是答案的操作，三個元件都只能選擇一個點，因此選擇第四個點一定會出現兩個藍色的點被連起來。 
<img src="https://imgur.com/MAKrxJb.png" style="height:181px;width:550px;" alt="" /></li>
</ol>在討論只有２個元件的一些可能性之前，必須先再介紹一種圖的類別－－「樹」(Tree)，樹是一種所有節點全部連通、但邊數＝節點數－１的結構，或者說從樹上每一個節點到達其他的點都只有唯一的路徑。根據這個性質可以再推導出樹是「二分圖」(Bipartite graph)的性質：因為從任意一個節點開始，到其他的節點都只會經過固定數量的邊，因此每一個節點距離選定的起點可以分成奇數步或偶數步。把距離自己奇數步的點變成三角形、距離自己偶數(包含自己)步的點變成正方形，則樹中的任何一條邊都剛好連在一個三角形和一個正方形上。 
<img src="https://imgur.com/YSuMXdg.png" style="height:398px;width:600px;" alt="" /><hr /><ol><li>如果２個連通元件的節點數量為（４４），６條邊時兩個元件上都有３條邊（都是樹）、７條邊時一個元件有３條邊、另一個有４條邊。因為Ｃ４取２＝６＞４，所以我們可以在兩個元件上都挑２個沒有連在一起的點塗上藍色。 
<img src="https://imgur.com/InLx6I4.png" style="height:181px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果２個連通元件的節點數量為（３５），６條邊時３個節點的元件上有２條邊、５個節點的元件上有４條邊（也都是樹）。我們一樣可以在兩個元件上都挑２個沒有連在一起的點塗上藍色。 
７條邊的情況要記得圖的長相會是其中一棵樹上面再加上一條邊（此時他就不是樹了）。如果這條邊加在５個節點的元件上，則情形跟６條邊時一樣，因為Ｃ５取２＝１０＞５，所以兩個元件都可以挑２個點塗上藍色；如果這條邊加在３個節點的元件上，則３個節點的元件就只能挑出１個點了。但因為５個節點的元件仍然是一棵樹，根據剛剛提到的二分圖性質，至少會有３個點都是正方形或都是三角形，那麼由於沒有一條邊連在相同的形狀上，我們就能取這３個點和另１個點塗上藍色。 
<img src="https://imgur.com/lNE6AXA.png" style="height:182px;width:550px;" alt="" /></li>
<li>如果２個連通元件的節點數量為（２６），則６個節點的元件上會有５（或６）條邊。同上，由於５條邊時他會是一棵樹，同上我們一定能挑出３個兩兩之間都沒有邊連起來的點，再從２個節點的元件上挑出１個點塗上藍色。６條邊的情況可以想像成是一棵樹再加上一條邊。此時的情況稍為複雜一些：想像這６個點可能有（１５）（２４）或（３３）個Ａ形狀與Ｂ形狀，在（３３）的情況不管加上的邊會連在哪一種形狀上，另一個形狀都還維持有３個點且兩兩之間沒有邊連起來。（１５）、（２４）的情況上如果在４（或５）個相同形狀的地方連上一條邊，也都還有４－１＝３個兩兩之間沒有邊連起來得點可以選，也就是無論哪一種情況都可以選出３個兩兩之間沒有邊連起來的點，再從２個節點的元件挑１個點出來塗上藍色就好了。 
<img src="https://imgur.com/EKKfmZI.png" style="height:250px;width:500px;" alt="" /></li>
<li>如果２個連通元件的節點數量為（１７），同上，７個節點的元件上會有６（或７）條邊。６條邊的情況是一棵樹，我們可以找出３個兩兩之間都沒有連起來的點；７條邊的情況是一棵樹加上一條邊，不論是（１６）（２５）（３４）個Ａ形狀與Ｂ形狀的哪一種情況，我們都仍然可以找出３個兩兩之間都沒有連起來的點，加上１個點的元件塗上藍色即可。 
<img src="https://imgur.com/RWG8Jyu.png" style="height:251px;width:500px;" alt="" /></li>
<li>最後，只有１個連通元件的情況，只會發生在有７條邊時，此時他是一棵樹，因為總共有８個點，我們一定能找出４個都是三角形或都是正方形的點，塗上藍色即可。 
<img src="https://imgur.com/EZ6dpTB.png" style="height:308px;width:300px;" alt="" /></li>
</ol>以上討論的１１種情況涵蓋了所有圖的長相，因此我們可以得知如果只有６條邊（６次操作）一定能找到四個沒有被連起來的藍色的點，也就是無法保證開鎖；７條邊（７次操作）的情況也只有答案所使用的２３３的方式可以保證開鎖。

備註

關於GS	好玩遊戲		益智謎題		聯絡我們
關於遊戲學校常見問題服務條款隱私政策 144,079,257	自造遊戲 X檔案夢遊先生神秘解謎 CN卡通頻道 GROW成長物品拆解	密室脫逃遊戲方塊益智遊戲偵探解謎遊戲益智冒險遊戲策略棋弈遊戲觀察尋找遊戲其它益智遊戲	邏輯數學找規律 / 找不同空間概念快問快答移動成立創造力	謎語 / 燈謎偵探思考眼腦並用文字拆解圖其他謎題	留言 / 錯誤回報 service@gameschool.cc
					其他
					GS名人榜攻略編輯總表