需要幾隻豬謎題解析--GameSchool遊戲學校

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需要幾隻豬 - 謎題解析

（題目敘述建議改成「在15分鐘內的某一個時間點死亡」， 
不然如果是恰好15分鐘後死亡，「數學上」只需要1隻豬就夠了） 
 
答案已作修正，5隻豬即可。 
 <hr />已知使用 n 隻豬測試 m 次， 
最多能從 (m+1)ⁿ 桶水中找出有毒的那一桶。 
（詳細證明請看下方 george617 的留言，這裡不贅述） 
忽略思考與操作的時間的話，一共能測 4 次， 
4 隻豬只足夠從 625 桶水中找出來， 
5 隻豬則能夠從 3125 桶水中找出來， 
不過其實 5 隻豬可以只測 3 次就好， 
因為 1024 仍然超過 1000。 
 
至於實際操作的方法， 
在證明公式的過程中其實已經有詳細描述了， 
這裡就直接舉個例子來試著幫助大家理解好了。 
 
====== 第一次測試 ====== 
水桶先編號成 1~1000， 假設其中的第 880 桶有毒。 
由於第一次測試有 5 隻豬活著，先把這些水分成 32 組：<ul><li>第 32 組：最多 243 桶， 
包含第 1~243 桶，有 243 桶。</li>
<li>第  1, 2, 4, 8, 16 組：每組最多 81 桶， 
依序包含第 244~324 桶, 第 325~405 桶, ..., 第 568~648 桶，都有 81 桶。</li>
<li>第 3, 5, 6, 9, 10, 12, 17, 18, 20, 24 組：每組最多 27 桶， 
依序包含第 649~675 桶, 第 676~702 桶, ..., 第 892~918 桶，都有 27 桶。</li>
<li>第 7, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 25, 26, 28 組：每組最多 9 桶， 
依序包含第 919~927 桶, 第 928~936 桶, ..., 第 1000~1008 桶， 
不過水桶只有 1000 桶，第 28 組其實只有第 1000 桶。</li>
<li>第 15, 23, 27, 29, 30 組：每組最多 3 桶， 
依序包含第 1009~1011 桶, 第 1012~1014 桶, ..., 第 1021~1023 桶， 
不過水桶只有 1000 桶，所以這裡每組都沒有水桶。</li>
<li>第 31 組：最多 1 桶， 
包含第 1024 桶，不過水桶只有 1000 桶，所以這組其實沒水桶。</li>
</ul>把豬編號成 1~5， 
第 1 隻豬喝第 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 組的所有水桶的水， 
第 2 隻豬喝第 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, 31 組的所有水桶的水， 
第 3 隻豬喝第 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31 組的所有水桶的水， 
第 4 隻豬喝第 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 組的所有水桶的水， 
第 5 隻豬喝第 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 組的所有水桶的水。 
經過 15 分鐘後，發現第 3,5 隻豬死了， 
可以回推出有毒的水在第 20 組中，也就是第 865~891 桶中。 
 
====== 第二次測試 ====== 
把這組內的水桶重新編號成 1~27，所以現在變成是第 16 桶有毒。 
這次只剩 3 隻豬活著，所以把這些水分成 8 組：<ul><li>第 8 組：最多 8 桶， 
包含第 1~8 桶，有 8 桶。</li>
<li>第  1, 2, 4 組：每組最多 4 桶， 
依序包含第 9~12 桶, 第 13~16 桶, 第 17~20 桶，都有 4 桶。</li>
<li>第  3, 5, 6 組：每組最多 2 桶， 
依序包含第 21~22 桶, 第 23~24 桶, 第 25~26 桶，都有 2 桶。</li>
<li>第 7 組：最多 1 桶， 
包含第 27 桶，有 1 桶。</li>
</ul>把豬編號成 1~3， 
第 1 隻豬喝第 1, 3, 5, 7 組的所有水桶的水， 
第 2 隻豬喝第 2, 3, 6, 7 組的所有水桶的水， 
第 3 隻豬喝第 4, 5, 6, 7 組的所有水桶的水。 
經過 15 分鐘後，發現第 2 隻豬死了， 
可以回推出有毒的水在第 2 組中，也就是第 13~16 桶中。 
 
====== 第三次（最後一次）測試 ====== 
把這組內的水桶重新編號成 1~4，所以現在變成是第 4 桶有毒。 
這次只剩 2 隻豬活著，就把豬編號成 1~2， 
第 1 隻豬喝第 1, 3 桶水， 
第 2 隻豬喝第 2, 3 桶水。 
經過 15 分鐘後，發現豬都還活著， 
可以回推出第 4 桶的水是有毒的。 
 <hr />根據 下方 platinum500a 提出的另一種證明計算公式的方法， 
則可以得到一個可能比較簡明的測試辦法。 
 
已知使用 5 隻豬已足夠， 
先把這 1000 桶水編號成 0~999， 
接著轉為五進制的五位數(不足五位則補 0)， 
接著看這個數的每一位， 
第 i 高位的數字如果是一個正整數 d， 
代表要在第 d 次測試時混入要給第 i 隻豬喝的水。 
 
例如：編號是 485 的那桶水，轉五進制得到 (03420)₅， 
代表這桶水第 1 隻豬不會喝到， 
第 2 隻豬在第 3 次喝到，第 3 隻豬在第 4 次喝到， 
第 4 隻豬在第 2 次喝到，第 5 隻豬不會喝到。 
 
最後，要找出是哪一桶水有毒應該就不是件難事了。 
假如第 1 隻豬在測 1 次後死，第 2,3 隻豬測完沒事， 
第 4 隻豬在測 4 次後死，第 5 隻豬在測 1 次後死， 
就代表是編號 (10041)₅=646 的那桶水有毒。

備註

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