時間的角度謎題解析--GameSchool遊戲學校

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時間的角度 - 謎題解析

（以下推導計算公式）
每過 1 小時，時針走 360/12 = 30 度， 
每過 1 分鐘，時針走 30/60 = 0.5 度，分針走 360/60 = 6 度。 
如果現在是 H 時 M 分 S 秒，先換算成 H 時 M+S/60 分， 
兩根指針從 12 點處往順時針方向算， 
時針會位在 H*30+(M+S/60)*0.5 度的地方， 
分針會位在 (M+S/60)*6 度的地方， 
時針往順時針方向繞 (M+S/60)*5.5-H*30 度就會繞到分針。
假設現在想找時針分針夾 X 度的時間， 
因為 X 是 0~180 間的整數，S 必須是 0， 
並且 M 要是偶數，所以設 M = 2m。
（接下來會用到同餘運算 a ≡ b (mod m)， 
可以理解成 a-b 是 m 的整數倍）
先考慮情況是時針往順時針繞 X 度會到分針， 
計算公式整理一下變成了 (2m)*5.5-H*30 ≡ X (mod 360)， 
其中 360 是 30 的倍數，代表 (2m)*5.5-H*30 ≡ X (mod 30)， 
整理得到 11m ≡ X (mod 30)，兩側可同乘 11 ， 
所以 121m ≡ 11X (mod 30)，於是解出 m ≡ 11X (mod 30)。
把解出來的 m 代回 (2m)*5.5-H*30 ≡ X (mod 360) 中， 
整理得到 30H ≡ 11m-X (mod 360)， 
由於 30H、11m-X、360 都是 30 的整數倍， 
就會有 H ≡ (11m-X)/30 (mod 12)。
至於繞逆時針的情況不需要重算， 
假想有兩個鐘，一個是正常的，另一個是逆著走的， 
不難想像兩個鐘上面相對應的指針是水平方向翻轉的， 
所以計算出 12 時 00 分扣掉 H 時 M 分就是另一個時間。
<hr />（以下為實際計算的例子）
分針和時針夾 X = 123 度，所以 11X = 1353， 
要讓 m-11X 是 30 的整數倍只能取 m = 3， 
算出 M = 2m = 6 以及 (11m-X)/30 = -3， 
要讓 H-(11m-X)/30 是 12 的整數倍只能取 H = 9， 
所以算出來是 9 時 06 分， 
計算 12 時 00 分扣掉 9 時 06 分，得到 2 時 54 分， 
所以在 2 時 54 分和 9 時 06 分，都是夾 123 度。

備註

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