正方體組合謎題解析--GameSchool遊戲學校

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正方體組合 - 謎題解析

由於只有125個小正方體，最大可以組成的正方體是邊長為5cm的大正方體。 
所以我們可以只考慮邊長為1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的正方體。 
我們也可以先固定較大的正方體的數量再計算用餘下的小正方體只組成較小的正方體的方式 
設m,n為正整數，f(m,n)代表用n個邊長為1cm的小正方體只組成一些邊長不多於m cm的正方體的方式 
所以我們要找f(5,125)<ul><li>對於所有正整數n，我們有f(1,n)=1，因為用n個邊長為1cm的小正方體組成一些邊長不多於1cm的正方體的方式只有不組合任何正方體的方式。</li>
<li>對於所有正整數m，我們有f(m,0)=1，因為沒有東西可以組成，所以只算1種</li>
<li>對於所有正整數m,n，我們有f(m,n)=f(m-1,n)+f(m-1,n-m^3)+f(m-1,n-2*m^3)+...+f(m-1,n-k*m^3)，而k在這裡是最大的整數使得n-k*m^3還是非負整數。因為用n個邊長為1cm的小正方體組成一些邊長不多於m cm的正方體的方式數量等於求q從0開始數到k，用q個邊長為m cm的正方體再用n-q*m^3個邊長為1cm的小正方體組成一些邊長不多於(m-1) cm的正方體的方式數量的和。</li>
<li>對於所有正整數n，我們有f(2,n)=f(1,n)+f(1,n-2^3)+f(m-1,n-2*2^3)+...+f(1,n-r*2^3)=r+1，而r在這裡是最大的整數使得n-r*8還是非負整數。</li>
</ul> 
f(5,125) 
=f(4,125)+f(4,125-125) 
=(f(3,125)+f(3,125-64))+f(4,0) 
=(f(3,125)+f(3,61))+1 
=((f(2,125)+f(2,125-27)+f(2,125-2*27)+f(2,125-3*27)+f(2,125-4*27))+(f(2,61)+f(2,61-27)+f(2,61-2*27)))+1 
=((f(2,125)+f(2,98)+f(2,71)+f(2,44)+f(2,17))+(f(2,61)+f(2,34)+f(2,7)))+1 
=((f(2,125)+f(2,98)+f(2,71)+f(2,44)+f(2,17))+(f(2,61)+f(2,34)+f(2,7)))+1 
 
因為125/8=15.625 98/8=12.25 71/8=8.875 44/8=5.5 17/8=2.125 61/8=7.625 34/8=4.25 7/8=0.875 
所以f(2,125)=16 f(2,98)=13 f(2,71)=9 f(2,44)=6 f(2,17)=3 f(2,61)=8 f(2,34)=5 f(2,7)=1 
所以((f(2,125)+f(2,98)+f(2,71)+f(2,44)+f(2,17))+(f(2,61)+f(2,34)+f(2,7)))+1 
=16+13+9+6+3+8+5+1+1 
=62 
所以f(5,125)=62，亦即是有62種組合方式

備註

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