四邊形的草地謎題解析--GameSchool遊戲學校

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四邊形的草地 - 謎題解析

用說明的有點麻煩，請直接看敘述。(作者五云：我應該說過圖是小畫家的吧？) 
首先，先闡明一下一個專用語：費馬點 
在那個謠傳的題目中，要在三角形內取距離和最短的點，而這個點即為費馬點。 
費馬點擁有以下性質─ 
1.   如果三角形三個角都小於120度，則費馬點即為與三個頂點連線且每兩邊夾120度的點。 
2.   如果有一個角大於等於120度，則費馬點即為那個超過120度的角的頂點。 
接著，從結論和第一階段證明(一個點)開始： 
在ADP中取費馬點Q，在BCP中取費馬點R<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/779.png" style="width:250px;height:241px;float:right;" alt="" /><div>連接AQ、DQ、BR、CR、QR 
此五線段即為所求 
(當然了，你可以換成在ABP和CDP中取費馬點 
兩個的結果在此情況下是一樣的) 
另外，由費馬點的性質可知： 
AP+DP&gt;AQ+DQ+PQ 
BP+CP&gt;BR+CR+PR 
且PQ+PR=QR(即QPR共線，這點大家可以自己想想看，雖然不是不能證明就是了。) 
故只在正方形內取一個點向四個頂點連線的話，絕對不會是最短的方案 
 
第二階段(兩個點)： 
<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/780.png" style="width:250px;height:244px;float:right;" alt="" />兩個點時，這兩個點向頂點連線的情況有三種 
第一種是右上圖中的黑色部分，每個點向正方形中相鄰的兩點連線 
第二種是右圖，其中一個向三點連線，另外一個只有向一個點連線 
第三種是每個點向對面的兩個點連線 
以上三種中，該兩點也需互相連線 
先討論第二種，如右圖，其中F只有向C拉線 
則可知EF+FC&gt;=EC 
故此方案可能會比只有一個點E的方案還要長 
但已經證明一個點不是最短方案 
故此方案也非最短方案 (遞移法) 
另外前述的第三種，也可發現兩條對角線和會比較短(不畫圖了，請自行想像) 
故也可知此方案也非最短方案 
由此可見，如果兩個點成立的話，必為第一種方案 
 
到此暫停一下，觀察前圖的F點 
F點因為只有連兩條線，所以可以被一條線無條件取代掉，進而可得知： 
引理 ─ 如果在這些增添的點中，如果有一個點只有連兩條線，則該方案非最佳方案 
 
第三階段(更多點)： 
不管草坪內有幾個樁(以下稱內點)，所需連的線有以下兩類： 
1.    內點向四個頂點所連的線，需4條 
       如果超過4條，則至少有一個頂點被連了兩條線，但由於所有內點都將會自行連線，故 
       會有多餘的情況，所以只會剛好4條。 
2.    內點在不添增更多內點所自己連接的線 
       如果有n個內點，則需連接n-1條線。 
<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/781.png" style="width:250px;height:245px;float:right;" alt="" /></div><div>一樣，如果更多線的話就會有浪費的情況，這點請大家自行想像。 
如果將第二類線切成兩半，每一半接在兩個頂點上 
那麼加上第一類線就總共就會有2n+2條線 
而由引理可知，每一個內點都至少要連3條線 
所以理想應該要有3n以上條線 
解不等式得n&lt;3 
故如果內點超過三點，根據引理可知一定不是最佳方案 
 
由此推知，最佳的方案為兩個點其中的第一類。接著我們回來看如何取。 
 
第四階段： 
如果隨便取兩點<img src="http://gameschool.cc/ugc/img/content/d4/1d/782.png" style="width:250px;height:241px;float:right;" alt="" />，如圖中的J、K 
則我們取BCJ的費馬點L，得： 
BL+CL+JL&gt;=BK+CK+JK 
而ADL也可以取一個費馬點 
新的費馬點又可以和BC兩點再取一次費馬點 
...... 
這樣一直下去 
這些"費馬點們"會逐漸靠近Q跟R 
而我們說過QR兩點所連的五條線夾角都是120度 
所以已經無法從ADR和BCQ取更短的線段和了。 
由此可知，此方法為最短的方法 
 
(作者後記：整個題目大概弄了二、三十分鐘吧......)</div>

備註

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