為了方便討論與閱讀,我先把一些題目中的名稱做以下更改:
1. 兩數之乘積我簡稱「
積」,兩數之總和我簡稱「
和」,
兩個數我以數對(a,b)的形式呈現,簡稱「
解」。
2. 知道積的「
第一個學生」叫做「
A」,知道和的「
第二個學生」叫做「
B」。(
A積B和)
現在我們開始解題:
Step 1:「
兩個比1大的自然數」
→已知a>1且b>1
→
a最小為2,b最小也為2(
沒有(1,12)這種解)
Step 2:「
A:
我不知道總和。」
→知道兩數積的人不知道兩數和
→
這個積的因數分解方式一定不只一種,否則A就能立即知道是哪兩個數
→(a,b)一定不會都是質數
→(a,b)至少有一者為合數
Ex:積=4=2x2只有一種分解方式,稱之為「
唯一分解積」,
在之後的列舉當中可以排除。
而積=12=2x6=3x4有兩種分解方式,就暫時還不能排除。
Step 3:「
B:
我知道。它們的總和少於14。」
[注意這裡的「我知道」的意思很關鍵,將放到最後討論]
→
至此我們可以開始列舉所有可能的積與和。
首先,我們要
把積的範圍找出來,再進行排除。
最小可能的積為2x2=
4,最大可能的積為6x7=
42。
承
Step 2的推理結果,從
4到42的合數中,
「
唯一分解積」都可以被排除了,例如6=2x3,8=2x4,9=3x3...等等。
排除完「唯一分解積」後,請注意還有一種情況可以被排除,
那就是「
唯一符合積」。
Ex:42=6x7=3x14=2x21,其中3+14=17
≧14,2+21=23
≧14,
只剩(6,7)這一組可能。
也就是說,如果A今天拿到的積是這種的話,他此時已經可以立刻得知解答了。
跟
42一樣屬於「
唯一符合積」的還有
40=5x8=4x10=2x20 (4+10=14
≧14,2+20同理)
32=4x8=2x16 (2+16=18
≧14)
28=4x7=2x14 (2+14=16
≧14)
因此,這四個可能的積也被排除了。
綜上所述,我們可以把目前所有剩下的「非唯一分解」的可能整理成如下兩種表格:
▼
以積為首的表A 和 ▼
以和為首的表B
此時同時觀察兩張表並注意一件事:
如果今天B拿到的和是7,則他現在已經得知解答了(唯一解),
然而他還沒說他得解,因此
和=7的(3,4)這個解可以被排除了。
此時又因為A也因此知道(3,4)被排除了,
所以
如果A拿到的積是12,則他現在也應該得知解答了,
然而他也還沒有說他得解,因此
積=12的(2,6)這個解也可以被排除了。
此時又因為B也因此知道(2,6)被排除了,
所以與上同理,
和=8的(4,4)這個解也可以被排除了。
依此類推,
積=16的(2,8)這個解也可以被排除了
→和=10的(4,6)這個解也可以被排除了
→積=24的(3,8)這個解也可以被排除了
至此,還剩下的可能性如下兩表
:
▼表A ▼表B
Step 4:「
A:我也知道。但是,現在我知道數字了。」
→首先關鍵在於「
我也知道」,意思是
即使B還沒講這件事,A也已經知道兩數和一定小於14了。
A是知道積的人,他卻
能肯定兩數和必定小於14,
表示他拿到的積,其分解必定不包含兩數和大於等於14的可能。
因此,「積=30,積=36」這兩種可能都被排除了!
因為30可以是2x15,有2+15=17
≧14的可能,
如果他拿到的是30就不能肯定兩數和一定小於14了
。
同理36=2x18,2+18=20
≧14。
現在,我們還剩下的可能如下兩表:
▼表A ▼表B
此時我們只剩下(2,9),(2,10),(3,6),(4,5)四個解要討論了。
Step 5:此時若沒有明瞭
Step 3裡B說的「我知道」的真正意思,
會發現題目最後兩句「但是A現在知道數字了 且 B也知道了」並不合理。
因為根據
Step 4所得到的表A和表B,
只要B拿到的和是11或12他就會比A先知道解答,
然而他卻還不知道,表示他拿到的和應該是9,A才能據此查閱表A而得知解答。
(例如A如果拿到的積是18,又知道和是9,就知道解答是(3,6))
而且即使A確實因此知道解答數字了,
B也仍然會因為無法得知積而不知道解答是(3,6)還是(4,5)。
因此上述這幾句的思路是錯誤的,
我們必須探討
Step 3裡
B說的
「我知道」的真正意思:
這個
「我知道」的意思,
一般人可能只會覺得是「我知道你不知道總和」,
但是
回顧我們
Step 3最後的那張
表A,你會發現
B當然能確定A不知道總和,
因為此時表A的每個積都有兩種可能的和。
這麼一來,B的「我知道」
豈不是成了廢話嗎?(
數學題無廢話,句句皆條件)
因此我們須注意到
B是
在講出「
它們的總和少於14」
之前就講出「我知道」,
所以
這個有斷句的「我知道」其實精確來說是指
「我已經能確定『你一定不知道總和』」,
而且是在A講話之前B就知道了!
換句話說就是「這件事你不用講我也已經知道」,
並且下一句是「而且我還知道它們的總和少於14」。
這裡真的是整題的最大難點,一般人根本看不出來「我知道」這句話能幹嘛。
事實上,
B通常是無法在第一時間確定A肯定不知道總和的,
因為
A本來有可能拿到「
唯一分解積」(例如15=3x5),
是
A講出「我不知道總和」後,其他人才知道他拿到的不會是「
唯一分解積」。
因此,
B手上的「和」有一種特殊性質,
使得他可以據此提早得知A肯定拿到了「非唯一分解積」,
那就是
B拿到的「和」不可能分解為兩個質數相加而得!
因為如果B拿到的「和」
有可能分解為兩個質數相加而得,
就表示A拿到的「積」
有可能是「
唯一分解積」。
Ex:如果B拿到的「和」是8,則8有可能是3+5,所以A有可能拿到15。
這樣B就不能肯定地說「我知道你一定不知道總和」了。
驚人的事實是,符合這個特殊性質並且小於14的和就只有11而已!
(4=2+2, 5=2+3, 6=3+3, 7=2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 12=5+7, 13=2+11;
而11=2+9=3+8=4+7=5+6)
因此,查閱最後的表B可得知正確解答只可以是和為11的(2,9)。
[事實上,如果你有提早發現這個特殊性質,就可以不用做那麼多排除法,
因為當時要討論的解已經只剩下(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)這四個了,
其中(4,7)在Step 3會因為屬於「唯一符合積」而被排除,
而(3,8)和(5,6)在Step 3不做「雙表連鎖排除」的情況下,
仍會在Step 4被A的「我也知道」給排除掉(3x8=24=2x12,2+12=14 ≧14)]