在發完帽子後，最高處的人做的事情，其實是在宣布他看到的九頂帽子的編號總和除以 20 餘多少，之後的九人就可以用倒扣的方式回推自己的顏色編號，而正確回答出他們頭上的帽子顏色。

接下來會用到符號 a mod b = c，表示「a 跟 b 這兩個正整數，a 除以 b 會餘 c」。
假設高處到低處的帽子顏色是 10,14,7,12,16,4,1,19,13,16，
第一個人會算出 (14+7+12+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2，然後講出 2 號顏色
（雖然不是 10 號顏色，但規則允許一個人答錯所以沒關係），
第二個人聽到後，就能解出 (b+7+12+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2 的 b 會是 14，
第三個人聽到後，就能解出 (b+c+12+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2 的 c 會是 7，
第四個人聽到後，就能解出 (b+c+d+16+4+1+19+13+16) mod 20 = 2 的 d 會是 12，
......，
第十個人聽到後，就能解出 (b+c+d+e+f+g+h+i+j) mod 20 = 2 的 j 會是 16。

乍看之下要記住一大堆數字才能計算出結果，其實不需要這樣，
因為可以邊扣邊算，如果會變成負數，加上 20 就行了。
例如最後一個人，在得知 b=14 後就可以扣掉 b，
算出 (c+d+e+f+g+h+i+j) mod 20 = 2-14+20 = 8，
在得知 c=7 後就可以接著扣掉 c，
變成 (d+e+f+g+h+i+j) mod 20 = 8-7 = 1，
以此類推。