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無止盡的路數學謎題
答對率：62%
「這條路走到底你就可以走出這個沙漠了。」小精靈說。
「看起來不遠嘛。」男子說。
「現在這條路有一公里長；但是這是一條有魔法的路，當你踏上去以後，每過一秒鐘這條路就會伸長一公里；會走得很累啊~ 要不要走隨便你囉。」說完小精靈就消失了。
男子想說孤注一擲，就踏上了這條路。
如小精靈所說，一秒以後，路的"全長"就變成兩公里長 ，再過一秒，全長就變成三公里長。
男子從第零秒開是走，速度是每秒走一公尺。假設他體力夠好，可以一直維持這個速度日夜不停地走。
那麼，男子有可能走到路的盡頭，離開沙漠嗎？
如果可以，大概要多久呢？
註：路是從"起點"開始「等比例」的伸長~~~
舉例來說，一秒以後路變成 2 km 時，男子已經走過的 1 m 也會等比例伸長為 2 m，所以此時他離終點有 1998 m。
再舉兩秒後的的例子：路從 1 km 變成 2km 再變成 3 km。而男子走了 2m，其中第一個 1m 最後會變成 3m (因為路從一開始是 1 km 最後是 3 km，等比例放大三倍)；而第二個 1m 最後會變成 1.5 m (因為路在一秒後是 2 km 最後是 3 km，等比例放大1.5倍)；所以男子走過的路一共變成 4.5 m；所以離終點還有 2995.5 m 。
看答案
走得到。但是要走很久。
P.S. 真的要很久
大概要 e1000 秒，約等於 10427 年。原因請見解析。
P.S. 真的要很久
大概要 e1000 秒，約等於 10427 年。原因請見解析。
解析
我要編輯作者：larry(岸輔 鷓) | 歷史版本
將題目轉成路的長度不變(1000m)，男子的步伐變成1,1/2,1/3,1/4,...(m)。
簡單說明為何一路加下去會變無窮大：
1,1/2,1/3+1/4,1/5+1/6+1/7+1/8,1/9+...+1/16,1/17+...+1/32,...
以上用逗號分隔的每一項都大於等於1/2，因此，若項數趨近無窮大，總和亦趨近無窮大。
轉換成下圖，問題變成要有多少個矩形面積總和才會超過1000。
x>=1的部分，直接算曲線下面積，誤差不超過0.5(將多出部分當三角形即可知道)。
已知不定積分∫dx/x = ln(x) + c，假設男子要走t秒，誤差為r(0<r<0.5)，
列方程式1 + ln(t) - ln(1) - r = 1000，會知道e^999<t<e^1000。
簡單說明為何一路加下去會變無窮大：
1,1/2,1/3+1/4,1/5+1/6+1/7+1/8,1/9+...+1/16,1/17+...+1/32,...
以上用逗號分隔的每一項都大於等於1/2，因此，若項數趨近無窮大，總和亦趨近無窮大。
轉換成下圖，問題變成要有多少個矩形面積總和才會超過1000。
x>=1的部分，直接算曲線下面積，誤差不超過0.5(將多出部分當三角形即可知道)。
已知不定積分∫dx/x = ln(x) + c，假設男子要走t秒，誤差為r(0<r<0.5)，
列方程式1 + ln(t) - ln(1) - r = 1000，會知道e^999<t<e^1000。
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下一道數學謎題
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