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十全數數學謎題
答對率：54%
如果有一個 十全數，它的 2 倍、3 倍、…、N 倍 （N 是正整數）都是 十全數 ，但（N＋1）倍卻不是 十全數 的話，就稱它是 「Ｎ級十全數」。
例如：
1234567890 ，組成位數包含 0～9 所以它是一個 十全數。並且：
1234567890 × 1 ＝ 1234567890 ，是 十全數；
1234567890 × 2 ＝ 2469135780 ，也是 十全數；但
1234567890 × 3 ＝ 3703703670 ，就不是 十全數 了。
因此，1234567890 是一個 「２級十全數」。
1234567890 × 1 ＝ 1234567890 ，是 十全數；
1234567890 × 2 ＝ 2469135780 ，也是 十全數；但
1234567890 × 3 ＝ 3703703670 ，就不是 十全數 了。
因此，1234567890 是一個 「２級十全數」。
問題：
- 「1176470588235294」和「157894736842105263」分別是 幾級 的 十全數 呢？
- 先試著找出一個 ８級十全數。
再來，若給定正整數 N ，給出一個辦法可以找到一個 「Ｎ級以上的十全數」（超過 N 沒關係，例如 N＝100 時若該辦法能找到的是一個 102級十全數 亦可；但要無論 N 給多大都適用的辦法）。 - 有「無限大級的十全數」存在嗎？（「無限大級的十全數」就是指 它的 2 倍、3 倍、…、所有正整數的倍數 也全部都是 十全數）
看答案
- 這題就把它們的倍數一一列舉檢查即可：
「1176470588235294」是 12級十全數；它的 13 倍是「15294117647058822」，缺少數字 3。
「157894736842105263」是 18級十全數 ；它的 19 倍是「2999999999999999997」。
或許有人有發現：「1176470588235294」 剛好是 2/17 的小數循環節；而「157894736842105263」 則是 3/19 的循環節。
- 要找到剛好是 8 級的十全數 （不能超過） 其實不算容易…。以下是個幾個解：
「2603748631234567890」，由網友 katian 提供。
「1460905321234567890」，由推測 katian 找出上一個解的方法，所找出的另一解。
「260374863123456789」，發現第一個解除以 10 以後仍是 8 級十全數…
如果想找出最小的 8 級十全數，我沒有好方法，有興趣者可以寫個程式算算。
不過，如果任意給一個正整數 N ，要找到一個 N 級以上的 十全數（允許超過 N），就很容易；亦即只要找到一個數，其 1~N 倍都是 十全數 即可。
直接舉例說明。如給定 N=30 的話：
對於任何一個 30 以下的正整數 k ，我們必然可以找到 一個 形式如 「1234567890XX」的數（其中X是0~9的某數字），使其可以被 k 整數。如：
「123456789000」可以被 1,2,3,4,5,6,8,9,10 整除。
「123456789001」可以被 7 整除。找法很簡單，即先用 123456789000 除以 7 ，發現餘 6 （不足 1），故將它加上 1 即可。
「123456789005」可以被 11 整除，找法同上。
然後，算出這些「1234567890XX」除以 1～30 的商（要整除的），並補上導零至 12 位數：
123456789000 ÷ 1 ＝ 123456789000
123456789000 ÷ 2 ＝ 061728394500
123456789000 ÷ 3 ＝ 041152263000
123456789000 ÷ 4 ＝ 030864197250
123456789000 ÷ 5 ＝ 024691357800
123456789000 ÷ 6 ＝ 020576131500
123456789001 ÷ 7 ＝ 017636684143
123456789000 ÷ 8 ＝ 015432098625
……
123456789000 ÷ 30 ＝ 004115226300
以此類推，我們可以找到好幾個形如「1234567890XX」的數，分別至少可以被 1～30 整除。
然後，把這些 帶有導零商值 全部寫成一串（123456789000061728394500…004115226300），即是個 30級以上的十全數。
原因很簡單，這個數字乘以 1～30 ，積的某一部分就會出現「1234567890XX」（且不會有進位的問題），必為十全數。
- 不存在「無限大級的十全數」。可以如 這一題 用鴿籠原理證明出，任何一個正整數，必定有一個倍數是只由 1 和 0 組成，不是 十全數。因此，就不存在一個 十全數 ，其任意整數倍都是 十全數。
延伸的幾個問題如下；有興趣可以試試看，我不會給答案（有的我也不會 :p），有解法的朋友可以在解析中編輯。
- 有關以上第三題，可以進一步證明以下敘述：
對於任何一個質數 p ，只要 p 不等於 2 或 5，則必存在一個「只由 1 所組成」的倍數，且其位數小於等於 p ；意即，在 {11, 111, 1111, ......, 111...111 (p 個 1)} 之中必有一個是 p 的倍數。
順帶一提，{11, 111, 1111, ......, 111...111, ...} 哪些是質數呢？很明顯，只有由 質數個 1 所組成的 才有可能是質數，但不是所有 質數個 1 組成的 111…11 都是質數，如： 11 是質數，111 不是（有因數 3），11111 也不是 （有因數 41），”7 個 1“ 也不是……。有興趣的朋友可以算算從 11 以後，至少要幾個 1 組成的數 才是質數。 - 有關第一題可以發現，利用分數的循環小數循環節，可以找出高級的十全數。原因是它的倍數仍然會是原本這個 十全數 的數字的順序組合，只是從不同數字起始而已 。
如第一題 3/19 的循環節有 18 位，有機會是一個 18 級的十全數 （為什麼？），而實際上也是；但是 2/17 的循環節有 16 位數，應該也有機會可以是一個 16 級十全數，但實則不然，為什麼？。 - 有關第二題，要找出「N 級以上的十全數」，除了以上的做法之外，還有什麼辦法呢（可以不需要位數這麼多的）？
另外，如果給定正整數 N ，要找出「剛好 N 級的十全數」，有什麼辦法呢？（不用 Try and error 或是利用程式的）
解析
我要編輯從大家的討論中整理一下；有什麼要補充的就請直接編輯解析吧：
- 有朋友查到了，11111……111 （19 個 1） 是質數；而 11、13、17 個 1 都不是質數。
- (尚未有結論)
- 若要找「N 級以上的十全數」，第二題解答的方法可以改進一下，找到小一點的十全數：
就是用 「123456789XX…X」取代解法中的「1234567890X…X」（不需要 0）；中間步驟相同，而最後把 N 個「123456789XX…X」除以 1~N 商串起來以後，最後加一個 0 即可。
另外有朋友發現，並非對所有的正整數 N ，都有 「剛好 N 級的十全數」。
例如，不會存在 「剛好 (10n -1) 級的十全數」，因為如果有這樣的數存在，它也一定是「10n 級(或以上) 的十全數」（原因不難）。而由此又衍生出的新的問題：還有哪些正整數 N，沒有「剛好 N 級的十全數」存在？
(延伸的問題好像越來越多了…留給有足夠興趣又是高手朋友解決囉。)
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