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猜數字遊戲 2數學謎題
答對率：48%
主持人：「只有 1~100 好像太容易猜中了，這一輪改成我們數字的範圍改成 1~1000 ！」
玩家：「可是這樣要猜很久，一直猜不中的話觀眾都懒得看了。」
主持人：「好吧，那麼規則通融一點…
正確答案是1~1000 中的一個正整數，你可以一直猜到中為止，並據次數得到獎金，但是
如果你猜的數字比正確答案小，我會說『猜小了』。
如果你猜的數字比正確答案大，我會說『猜錯了』。
但是只要有兩次猜的數字比正確答案大，之後只要是沒有答對，無論猜大猜小，我都只會說『猜錯了』。
OK？」
玩家：（其實只是一次變成兩次而已不是嗎…）
那麼玩家至少要猜幾次可以保證猜到正確答案呢？
看答案
19 次
方法有很多，下舉一例：
因為此規則下， 19 次 可以猜出的最多數字為 1~1159 （見解析）；今只有 1~1000 ，故不只有一種猜法（有些數字可能猜得比以上方法的小）。
方法有很多，下舉一例：
- 數列：172，326，463，584，690，782，861，928，984，1000。
第一次猜 172；爾後只要主持人還沒回答「猜錯了」（只回答「猜小了」），就依以上的數列的下一項繼續接著猜。 - 如果某一次猜完後主持人第一次回答「猜錯了」，那就從已知最小可能的數字，用上一題的方法繼續猜。
例如，若猜 172 後主持人回答「猜錯了」，那接下來就依序猜 18 ，35 (=18+17)，51 (=18+17+16)，…，171 (=18+17+... +1) 。至於為何從 18 開始是因為預計最多猜 19 次，猜了 1 次 (172) 後，還有 18 次可猜。
又例如，若猜到 690 後主持人回答「猜錯了」，那接下來就依序猜 598 (=584+14), 611 (=584+14+13), ..., 689 (=584+14+13+...+1)。同理，從 584+14 開始是因為預最多猜 19 次，猜了 5 次 (猜到 690) 後，還有 14 次可猜。 - 如果某一次猜完後，主持人回答第二次「猜錯了」，那就把剩下已知範圍內可能的數字都猜一遍（順序也不重要了，因為運氣最壞的情況也是每個數字都得猜過。）
因為此規則下， 19 次 可以猜出的最多數字為 1~1159 （見解析）；今只有 1~1000 ，故不只有一種猜法（有些數字可能猜得比以上方法的小）。
解析
我要編輯先計算可以猜n次的最大允許值
為了方便，稱上個題目的n次最大允許值為A_n，這次的為B_n。
其中A_n=n(n+1)/2 (上個題目的小結論 請見底下留言)
假設第1步猜x，那麼剩下的數字會被分為比x大與比x小：
比x大的部分因為還是有兩次的猜大機會，所以適用B_(n-1)的策略；
比x小的部分因為只剩下一次的猜大機會，所以適用A_(n-1)的策略。
因此可得遞迴式：B_n=B_(n-1)+A_(n-1)+1
而顯而易見B_1=1
因此B_n=1+Σ(n(n-1)/2)+n-1 (Σ為求和符號，詳細請見維基)
其中Σ(n(n-1)/2)即為四面體數，可得公式n(n+1)(n-1)/6
因此B_n=n(n+1)(n-1)/6+n
可得最小n值為19，此時最大允許值為1159。
為了方便，稱上個題目的n次最大允許值為A_n，這次的為B_n。
其中A_n=n(n+1)/2 (上個題目的小結論 請見底下留言)
假設第1步猜x，那麼剩下的數字會被分為比x大與比x小：
比x大的部分因為還是有兩次的猜大機會，所以適用B_(n-1)的策略；
比x小的部分因為只剩下一次的猜大機會，所以適用A_(n-1)的策略。
因此可得遞迴式：B_n=B_(n-1)+A_(n-1)+1
而顯而易見B_1=1
因此B_n=1+Σ(n(n-1)/2)+n-1 (Σ為求和符號，詳細請見維基)
其中Σ(n(n-1)/2)即為四面體數，可得公式n(n+1)(n-1)/6
因此B_n=n(n+1)(n-1)/6+n
可得最小n值為19，此時最大允許值為1159。
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