老師出了五題題目給全班50個人回答,
第一題有40個人答對,
第二題有30個人答對,
第三題有31個人答對,
第四題有45個人答對,
第五題有35個人答對;
老師說要答對三題以上的人才算及格,
請問班上至少有多少人及格呢?
27人。
這題倒過來用最多不及格人數來算會比較好計算;
不及格表示要錯三題以上,
第一~五題各有10、20、19、5、15人答錯,總共有10+20+19+5+15=69題答錯,
答錯的總題數是固定的,
最多不及格的人就是不及格的每個人都是答錯最少題數(三題)的狀況,
因此最多不及格的會有69/3=23人,
最少及格人數就是所有人減掉最多不及格的:50-23=27人。
當題目裡的裡的數字是隨意給的時候,要直接求出答案是有困難的,
但我們卻能夠快速驗證「及格人數有沒有可能不超過N人」。
例如想要驗證「及格人數有沒有可能不超過39人」,
反過來說就是「不及格人數有沒有可能不低於11人」,
(之後會解釋為什麼要倒過來而不直接用答對人數來算)
而第一~五題各有10、20、19、5、15人答錯,
把答錯的題目盡可能分到這11個人身上:
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | |
錯題i | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |
錯題ii | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 |
錯題iii | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 |
錯題iv | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
錯題v | 5 | 5 | 5 | 5 |
每個人在同一題最多只會錯一次,就算有題目高達20人錯,
分在這11人身上也只能一人各錯一次。
根據以上的結果,這11個人都沒有及格(錯至少3題),
(其實不需要真的畫表格,只要驗證(10+11+11+5+11)/11≥3就好)
因此「不及格人數可以不低於11人」,
代表「及格人數可以不超過39人」。
最後因為我們檢查的是「不超過N」,如果在N=K有可能,
那在N>K時也是有可能,所以要確認答案就像玩猜數字,
如果不可能就試更大一點的,如果可能就試更小一點的,
可以確認N=26時不可能,但N=27時可能,答案就是27人。
(下方表格是不及格的23人的一種情況)
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | |
錯題i | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
錯題ii | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
錯題iii | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
前面的步驟講到要倒過來算,
那直接用答對人數來做類似的檢驗會發生什麼事情?
找出的會是最多可以有幾個人及格(這題是50人)。
因為根據檢驗本身的特性,當我們得到「可以不低於X人」時,
並不代表「可以剛好有X人」,比如說,
用答對人數得出了「及格人數可以不低於10人」,
可是實際上卻找不出「剛好10人及格」的情況。