與前一題一樣,可以找出疊代的式子來。
為了符合題目的形式,可假設:
y = √( (y+a)
2 - 4 (y+1) ) ,解一下,得 a = 2。然後,把 y 用 y+1, y+2, ... 代,得:
y = √( (y+2)
2 - 4 (
y+1) )
y+1 = √( (y+3)
2 - 4 (
y+2) )
y+2 = √( (y+4)
2 - 4 (
y+3) )
…
這樣一來,把黃色區不斷改寫成下一行的藍色區,得到:
y = √( (y+2)
2 - 4 √( (y+3)
2 - 4 √(…) ) )
令 y = 3 ,就可以得到題目的式子。
(此題的答案存在可以證明,一樣可用數列遞增有上界/遞減有下界來說明極限存在。此處略過。不過明顯地,這個根式有一個上界 √25 = 5,有一個下界 √(25-4√36) = 1。)
不過,是否這種看似有規律的無限根式,都能找到疊代的式子?我不曉得,讓有興趣的朋友們想吧!
以上根式的值又是多少? (答案是存在的,可以證明 2 是一個上界。但是值是多少我不會算…)