用說明的有點麻煩,請直接看敘述。
(作者五云:我應該說過圖是小畫家的吧?)
首先,先闡明一下一個專用語:費馬點
在那個謠傳的題目中,要在三角形內取距離和最短的點,而這個點即為費馬點。
費馬點擁有以下性質─
1. 如果三角形三個角都小於120度,則費馬點即為與三個頂點連線且每兩邊夾120度的點。
2. 如果有一個角大於等於120度,則費馬點即為那個超過120度的角的頂點。
接著,從結論和第一階段證明(一個點)開始:
在ADP中取費馬點Q,在BCP中取費馬點R
連接AQ、DQ、BR、CR、QR
此五線段即為所求
(當然了,你可以換成在ABP和CDP中取費馬點
兩個的結果在此情況下是一樣的)
另外,由費馬點的性質可知:
AP+DP>AQ+DQ+PQ
BP+CP>BR+CR+PR
且PQ+PR=QR(即QPR共線,這點大家可以自己想想看,雖然不是不能證明就是了。)
故只在正方形內取一個點向四個頂點連線的話,絕對不會是最短的方案
第二階段(兩個點):
兩個點時,這兩個點向頂點連線的情況有三種
第一種是右上圖中的黑色部分,每個點向正方形中相鄰的兩點連線
第二種是右圖,其中一個向三點連線,另外一個只有向一個點連線
第三種是每個點向對面的兩個點連線
以上三種中,該兩點也需互相連線
先討論第二種,如右圖,其中F只有向C拉線
則可知EF+FC>=EC
故此方案可能會比只有一個點E的方案還要長
但已經證明一個點不是最短方案
故此方案也非最短方案 (遞移法)
另外前述的第三種,也可發現兩條對角線和會比較短(不畫圖了,請自行想像)
故也可知此方案也非最短方案
由此可見,如果兩個點成立的話,必為第一種方案
到此暫停一下,觀察前圖的F點
F點因為只有連兩條線,所以可以被一條線無條件取代掉,進而可得知:
引理 ─ 如果在這些增添的點中,如果有一個點只有連兩條線,則該方案非最佳方案
第三階段(更多點):
不管草坪內有幾個樁(以下稱內點),所需連的線有以下兩類:
1. 內點向四個頂點所連的線,需4條
如果超過4條,則至少有一個頂點被連了兩條線,但由於所有內點都將會自行連線,故
會有多餘的情況,所以只會剛好4條。
2. 內點在不添增更多內點所自己連接的線
如果有n個內點,則需連接n-1條線。
一樣,如果更多線的話就會有浪費的情況,這點請大家自行想像。
如果將第二類線切成兩半,每一半接在兩個頂點上
那麼加上第一類線就總共就會有2n+2條線
而由引理可知,每一個內點都至少要連3條線
所以理想應該要有3n以上條線
解不等式得n<3
故如果內點超過三點,根據引理可知一定不是最佳方案
由此推知,最佳的方案為兩個點其中的第一類。接著我們回來看如何取。
第四階段:
如果隨便取兩點
,如圖中的J、K
則我們取BCJ的費馬點L,得:
BL+CL+JL>=BK+CK+JK
而ADL也可以取一個費馬點
新的費馬點又可以和BC兩點再取一次費馬點
......
這樣一直下去
這些"費馬點們"會逐漸靠近Q跟R
而我們說過QR兩點所連的五條線夾角都是120度
所以已經無法從ADR和BCQ取更短的線段和了。
由此可知,此方法為最短的方法
(作者後記:整個題目大概弄了二、三十分鐘吧......)