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四邊形的草地數學謎題

答對率:95%
謠傳之前有人要在三角形草地內插樁,且樁到三頂點的距離和要最短
這次有個公司要辦活動,活動場地內有一個正方形的草地。為了防止有人超線,上級交派某名員工去插一個樁,並往四個頂點綁上纜繩。
但為了省成本,上級希望繩子越短越好。
請問他該怎麼插呢?
(作者云:因為本人繪圖能力有限,故無法畫出賞心悅目的圖片,敬請見諒!)
(作者又云:這題暫時歸類於數學,因為某些部份需要一點數學知識才能說明。但如果有人提議放入其他類別,我可以進行N次投票,N為正整數且小於等於2)
(作者三云:有人說看不懂,因此給出數學化的題目說明)

數學化:
請問該如何在一正方形ABCD中取一點P,使AP+BP+CP+DP的和最短?
yaonepiece(小扁⊂(•̀ω•́⊂)2013-08-16提供(2013-08-19修改)
來源:一言難盡
看答案
量兩個對角線的交點即可。
證明如下:(作者四云:因為我家的GSP壞了,所以圖是用小畫家畫的,將就一下吧!)
令P為正方形ABCD之兩對角線交點(即中心點)
而Q為正方形內一點
則由三角不等式延伸可得:
AQ+CQ>=AC
BQ+DQ>=BD
其中兩式的等號當Q在該線段上時成立
兩式相加為:
AQ+BQ+CQ+DQ>=AC+BD
而由前述可知等號當Q同時在AC、BD上時成立
而此情況即為P點,證畢

後續:
隔天,由於繩子是合金纜繩,所費不貲。故上層要求該員工盡可能的省下繩子的成本,木樁要插幾根都沒問題。不過也不要浪費木樁,使即使移除某個(或某些)木樁也沒有差別。
而且這次防止超線的策略是用電擊的,如果有人碰到纜繩,就會被微小電流電一下,故要求所有拉的線必須在只靠木樁的情況下連接在一起。
於是這名員工又回到了那邪惡的正方形草地,請問這次他該怎麼做呢?
(兩天後公布答案&詳細證明,不過應該有人貼出來就知道了,畢竟這個題目也是有人做過科展的,另外,這題也來數學化一下)
數學化:
請問該如何在一正方形ABCD中取點P_1,P_2...P_n(n>=1)並且連線,使每一頂點可只經過正方形內的折線到達另外一點,且所有線段和最短?

解析

我要編輯
用說明的有點麻煩,請直接看敘述。(作者五云:我應該說過圖是小畫家的吧?)
首先,先闡明一下一個專用語:費馬點
在那個謠傳的題目中,要在三角形內取距離和最短的點,而這個點即為費馬點。
費馬點擁有以下性質─
1.   如果三角形三個角都小於120度,則費馬點即為與三個頂點連線且每兩邊夾120度的點。
2.   如果有一個角大於等於120度,則費馬點即為那個超過120度的角的頂點。
接著,從結論和第一階段證明(一個點)開始:
​在ADP中取費馬點Q,在BCP中取費馬點R
連接AQ、DQ、BR、CR、QR
此五線段即為所求
(當然了,你可以換成在ABP和CDP中取費馬點
兩個的結果在此情況下是一樣的)
另外,由費馬點的性質可知:
AP+DP>AQ+DQ+PQ
BP+CP>BR+CR+PR
且PQ+PR=QR(即QPR共線,這點大家可以自己想想看,雖然不是不能證明就是了。)
故只在正方形內取一個點向四個頂點連線的話,絕對不會是最短的方案

第二階段(兩個點):
兩個點時,這兩個點向頂點連線的情況有三種
第一種是右上圖中的黑色部分,每個點向正方形中相鄰的兩點連線
第二種是右圖,其中一個向三點連線,另外一個只有向一個點連線
第三種是每個點向對面的兩個點連線
以上三種中,該兩點也需互相連線
先討論第二種,如右圖,其中F只有向C拉線
則可知EF+FC>=EC
故此方案可能會比只有一個點E的方案還要長
但已經證明一個點不是最短方案
故此方案也非最短方案 (遞移法)
另外前述的第三種,也可發現兩條對角線和會比較短(不畫圖了,請自行想像)
故也可知此方案也非最短方案
由此可見,如果兩個點成立的話,必為第一種方案

到此暫停一下,觀察前圖的F點
F點因為只有連兩條線,所以可以被一條線無條件取代掉,進而可得知:
引理 ─ 如果在這些增添的點中,如果有一個點只有連兩條線,則該方案非最佳方案

第三階段(更多點):
不管草坪內有幾個樁(以下稱內點),所需連的線有以下兩類:
1.    內點向四個頂點所連的線,需4條
       如果超過4條,則至少有一個頂點被連了兩條線,但由於所有內點都將會自行連線,故
       會有多餘的情況,所以只會剛好4條。
2.    內點在不添增更多內點所自己連接的線
       如果有n個內點,則需連接n-1條線。
一樣,如果更多線的話就會有浪費的情況,這點請大家自行想像。
如果將第二類線切成兩半,每一半接在兩個頂點上
那麼加上第一類線就總共就會有2n+2條線
而由引理可知,每一個內點都至少要連3條線
所以理想應該要有3n以上條線
解不等式得n<3
故如果內點超過三點,根據引理可知一定不是最佳方案

由此推知,最佳的方案為兩個點其中的第一類。接著我們回來看如何取。

第四階段:
如果隨便取兩點,如圖中的J、K
則我們取BCJ的費馬點L,得:
BL+CL+JL>=BK+CK+JK
而ADL也可以取一個費馬點
新的費馬點又可以和BC兩點再取一次費馬點
......
這樣一直下去
這些"費馬點們"會逐漸靠近Q跟R
而我們說過QR兩點所連的五條線夾角都是120度
所以已經無法從ADR和BCQ取更短的線段和了。
由此可知,此方法為最短的方法

(作者後記:整個題目大概弄了二、三十分鐘吧......)
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