以下舉幾種方法：

1 = √2 × √2 ÷ 2 = 2 - 2 ÷ 2
2 = 2 + 2 - 2 = 2 × 2 ÷ 2
3 = 2 + 2 ÷ 2 = 2 + cos(2 - 2)
4 = √2 × √2 × 2 = √2 × √2 + 2
5 = 2 ÷ 2 ÷ .2  (此處 .2 是 0.2 的簡寫 用來偷懶)  =  [ √(2 ÷ sin(2°)) ] - 2  (此處的中括號是高斯符號，[x] 表示 不大於 x 的最大整數，用這個犯規了…以下不再用)  =  H(2, 2+2)  (這裡的 H 是重覆組合符號)
6 = 2 × 2 + 2 = 2² + 2 = C(2+2, 2)  (這裡的 C 是組合符號)
7 = 2 ÷ .2 - 2  (此處 .2 是指 0.2222... = 2/9，2 為循環節，本來那一槓要寫在 2 的上面的，但目前沒有加頂線的功能。) 
8 = 2² × 2 = 2 ^ H(2, 2)  (^ 在此為次方符號，例：3^2 = 3² = 9)
9 = √2 × √2 ÷ .2 = H(2, 2) ^ 2
10 = √2 × √2 ÷ .2
11 = 22 ÷ 2 = 2 ÷ .2 + 2
12 = 2 ÷ .2 + 2 = (2+2)! ÷ 2  (! 在此為階乘符號)
13 = 2 × 2 × 2 於五進位時… (這算是犯規了)

其實，13 以上的正整數，要湊出來都有點難 (除了特定幾個數字和用較不常見的函數之外)…。以下提供一種可以算出任何正整數的解法：

---

使用對數的話就能做到！簡單介紹一下，對數 (符號是 log) 的意義是： 
如果 z = log_x y ，就表示「y 是 x 的 z 次方」，也就是 x^z= y ；例如： 2³= 8 ，則 log₂ 8 = 3。

本題的通解：對於任何正整數 n 

n = - log₂ (log₂ (√√√…√2) ) (共開 n 次根號) 

原因在於，根號 2  表示 2 的 1/2 次方；把 2 開了 n 次根號，就表示 2 的 (1/2)ⁿ次方。故 log₂ (√√√…√2)  = ​log₂ (2 ^ (1/2)ⁿ)  = (1/2)ⁿ= 2^-n
故 - log₂ (log₂ (√√√…√2) ) = - ​log₂ (2^-n) = - (-n) = n

用這個通式的話，就可以用三個 2 表示任何正整數。
例如：5 = - log₂ (log₂ (√√√√√2) ) 
 

---

「有的函數沒學過嗎？」以下補充解答與留言當中用到的函數的意義，讓大家都盡量都看得懂：)

• 階乘 n! (n 要是正整數或 0)：從 n 開始乘 (n-1)、乘 (n-2)、…直到 1 為止，如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ；0! = 1 (當作定義)
• 組合 C(m, n) (m, n 要是正整數或 0 ，m ≥ n)：從 m 個相異物中取出 n 個來的方法數 (不包含順序)，如 C(3, 2) = 3   因為從三個東西 (ABC) 中選二，方法有 AB、AC、BC 三種。公式是 C(m, n) = m! / n! / (m-n)!
• 排列 P(m, n) (m, n 要是正整數或 0 ，m ≥ n)：從 m 個相異物中取出 n 個來之後排列，其排列方法數 (有包含順序)。如 P(3, 2) = 6  因為從三個東西 (ABC) 中選二再排列，方法有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 六種。公式是 P(m, n) = m! / (m-n)!
• 重覆組合 H(m, n) (m, n 要是正整數或 0)：把 n 個相同的東西分給 m 個相異的人，其分配的方法數。如 H(2, 3) = 4 ，因為把 3 個相同的球，分給兩人(甲乙)，分法有：甲 0 個乙 3 個、甲 1 個乙 2 個、甲 2 個乙 1 個、甲 3 個乙 0 個，共 4 種。公式為：H(m, n) = (m+n-1)! / n! / (m-1)!
• 三角函數們 sin、cos、tan：在此解釋較難。高一數學會教，有興趣 google 吧…
• 指數(次方)、根號與對數：上面有介紹了，用一個例子總結他們之間的關係：
  2³ = 8 所以： ³√8 =  8 ^ (1/3) = 2  ；log₂ 8 = 3
• 平方根 √x 又可寫作 sqrt(x)。
• 最大值 / 最小值 max() / min () ：取出一群數 (可任意多個，寫在括號中) 中最大的/最小的。如 max(3, 5) = 5 取最大的； min (1, -1, 3) = -1 取最小的。
• 費氏數 fib(n) (n 是正整數或 0)：給出費氏數列 (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) 中的第 n 個數，最前面的 0 算是第零個。故： fib(0) = 0, fib(1) = 1, fib(2) = fib(1) + fib(0) = 1,  fib(3) = fib(2) + fib(1) = 2 ，第二個以後的費氏數都是前兩個相加，以此類推。
• 質數  prime(n) (n 是正整數)：給出由小到大的第 n 個質數 (2, 3, 5, 7, 11, ...)，如 prime(1) = 2 、prime(2) = 3 、prime(6) = 13。
• 餘數 mod(m, n) 或是寫  m (mod n)  (m 要是整數、 n 要是正整數)：給出 m 除以 n 的餘數。如 mod(17, 3) = 2； 8 (mod 3) = 2 (mod 3) = -1 (mod 3)。
• 最大公因數 gcd() 和最小公倍數 lcm() (括號內要放正整數，個數不限)。例：gcd(16, 24) = 8， lcm(4, 5, 6) = 60。