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直線的交錯數學謎題

答對率:略
以下題目均建立在歐幾里德平面上(即一般常見的座標平面):

Q1. 100條相異直線最多有幾個交點?

Q2. 有100條相異直線,這些直線被分為4組,每組各25條,同組直線彼此互相平行,不同組則否,則這些直線最多有幾個交點?

Q3.  有1275條相異直線,這些直線被分為50組,第1組1條,第2組2條,……,第49組49條,第50組50條。已知同組直線彼此互相平行,不同組則否,則這些直線最多有幾個交點?
 
jen8810556(耀☆羽)2019-01-22提供
看答案
A1. 4950個

A2. 3750個

A3. 791350個

解析

我要編輯
Q1. 100條相異直線最多有幾個交點?
如果要盡量讓交點變多,則應該要每2條直線1個交點就好,
否則交點重合會減少交點數,此外也不應考慮平行這種會減少交點數的情況,
因此當交點數最多時則為每個交點均為任意2條線相交,
則交點數為C100取2=100×99÷2=4950個交點。

Q2. 有100條相異直線,這些直線被分為4組,每組各25條,同組直線彼此互相平行,不同組則否,則這些直線最多有幾個交點?
同樣考慮不共交點的情況,
每條線都可以和其他不同組的75條直線產生交點,
因此可以先挑一條直線,再挑一條與其不同組的直線,之後考慮前後交換重複的問題,
可以得到交點數為100×75÷2=3750個交點。
或者也可以先假設所有直線都和其他條直線有交點,再把同組的交點扣掉,
即4950-4×C25取2=4950-4×25×24÷2=4950-1200=3750個交點。

Q3.  有1275條相異直線,這些直線被分為50組,第1組1條,第2組2條,……,第49組49條,第50組50條。已知同組直線彼此互相平行,不同組則否,則這些直線最多有幾個交點?
同樣考慮不共交點的情況,
這邊先假設所有直線都和其他條直線有交點,再把同組的交點扣掉,
再透過組合數學的計算,可以算出共有791350個交點。



 
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